Обратимая тепловая машина. Энтропия

Циклы

1.1 Циклический процесс

Процесс, при котором тело проходит последовательность равновесных состояний, оканчивающуюся начальным состоянием, называется термодинамическим циклом, или просто циклом. Например, газ занимавший объем V₁ при давлении P₁ затем расширяли, сжимали, охлаждали, снова нагревали так, что в конце концов он занял объем V₁ и при этом его давление оказалось равным P₁. Весь процесс, совершенный над газом, в этом случае представляет собой цикл. На диаграмме в любых переменных процесс изображается замкнутой кривой.

Понимание циклических процессов очень важно для нахождения закономерностей работы тепловых машин – устройств, с помощью которых теплоту превращают в работу, или, совершая работу, добиваются передачи тепла от холодных тел к горячим.

1.2 Работа в циклическом процессе

Внутренняя энергия тела по завершении циклического процесса принимает первоначальное значение. В отличие от внутренней энергии работа, которую совершает тело в циклическом процессе, не обязательно равна нулю. Для примера рассмотрим циклический процесс, изображенный на рисунке в переменных P и V, в котором участвует газ.

Стрелками показана последовательность смены состояний. Любой циклический процесс состоит из двух ветвей: одна ветвь – A®B– процесс, в котором объем возрастает, другая – A¬B,, – в котором объем убывает. Работа, совершенная над газом, равна сумме элементарных работ – PdV. Каждый из элементов изменения объема газ проходит дважды – увеличивая и уменьшая объем. При увеличении объема работа, совершаемая над газом, отрицательная. При уменьшении – положительная. Как видно из рисунка, полная работа равна площади цикла. При изменении направления смены состояний на противоположное знак работы в цикле изменяется на противоположный.

1.3 Коэффициент полезного действия цикла

Поскольку в циклическом процессе результирующее значение внутренней энергии тела не изменяется, а работа, совершенная над телом или совершенная телом не равна нулю, можно заключить, что если над телом совершается работа, то она превращается в тепло, переданное окружающим телам. Если же тело совершает работу, то она совершается за счет тепла, взятого от окружающих тел. Во втором случае цикл может быть использован в тепловом двигателе. В связи с таким возможным использованием циклов введена характеристика, называемая коэффициентом полезного действия (КПД) цикла. Она определяется как отношение работы, совершенной телом в цикле, к полной теплоте, полученной телом от нагревателя или других тел:

(1.1)

Рассмотрим пример определения КПД конкретного цикла, в котором участвовал одноатомный идеальный газ. Цикл состоит из двух изотерм при температурах T₁ и T₂, и двух изохор при объемах V₁ и V₂ (T₁>T₂ и V₁<V₂). Работа, совершенная газом будет положительная, если при высокой температуре газ расширяется, а при низкой – сжимается.

Пусть всего газа ν молей. На участке изотермы 1 – 2 за счет подводимого тепла Q₁₂ газ расширяется и совершает работу, равную

(1.2)

В изотермическом процессе идеальный газ все полученное тепло превращает в работу. На следующем участке изохоры газ переходил от высокотемпературных к низкотемпературным изотермам. Значит - газ охлаждался, отдавал тепло. На данном участке цикла объем не изменялся, поэтому ни газом, ни над газом, работа не совершалась. На участке изотермы 3 – 4 над газом совершается работа, равная

(1.3)

Она переходит в тепло, которое передается внешним телам. И, наконец, на участке изохоры 4 – 1 газ нагревается от температуры T₂ до температуры T₁. На этом участке работа не совершалась.

Полная работа, которую совершил газ в цикле, равна

(1.4)

Для нахождения КПД цикла надо определить тепло, которое было получено газом в течение всего цикла. Тепло было получено на участках 1 – 2 и 4 – 1, так что Q=Q₁₂+Q₄₁. Тепло Q₁₂ равно A₁₂. Тепло Q₄₁ равно изменению внутренней энергии ∆U₄₁ в процессе 4–1: Q₄₁=CV(T₁–T₂)= , поэтому

(1.5)

По определению:

(1.6)

В вопросе о КПД циклов важное обстоятельство заключается в том, что принципиально невозможно придумать такой цикл, чтобы его КПД был равен 1. На качественном уровне причина этого состоит в том, что при возвращении газа в исходное состояние приходится безвозвратно передавать тепло от газа внешним телам (холодильнику), так что полученное тепло никогда не используется полностью для совершения работы.

Вернемся к тепловой машине, которая работала по циклу, состоящему из двух изотерм и двух изохор. При вычислении КПД этого цикла мы обратили внимание на то, что в изохорическом процессе 2–3 пришлось просто так выбрасывать тепло на ветер, только ради того, чтобы понизить температуру рабочего тела (идеального газа в цилиндре).

Теперь мы модернизируем эту машину. Сделаем два тепловых шкафа разбитых на бесконечное множество полочек с температурами, которые пробегают значения от T₁ до T₂ (регенератор). На участке 1–2 газ совершит работу за счет тепла, взятого у нагревателя, равную , и попадет в состояние 2. Мы должны охладить газ, чтобы перейти на низкотемпературную изотерму. Используем модернизацию. При охлаждении будем отдавать тепло не холодильнику, а регенератору. Тепло передаем на ту полочку, которая имеет температуру, равную температуре газа. Тепло запасаем в шкафу. Всего будет запасено . На участке 3–4 газ сжимаем и совершаем над ним работу . Попадаем в состояние 4. Далее для перехода на высокотемпературную изотерму берем тепло не от нагревателя, а от регенератора. Там запасено точно столько, сколько нам надо – . За счет этого тепла газ вернется в состояние 1.

Итог: была совершена работа . От нагревателя взято тепла . КПД новой машины оказалось больше, чем старой, из-за того, что зря тепло не сбрасывали. Поэтому КПД ее равно

(2.1)

В полученном результате содержится изюминка. Выразим выражение КПД через теплоты полученную от нагревателя и отданную холодильнику

. (2.2)

Имеем уравнение

. (2.3)

Похоже на закон сохранения величины . Комбинация характеризует процесс обмена теплом между рабочим телом и холодильником. Комбинация характеризует процесс обмена теплом между рабочим телом и нагревателем. При работе нашей тепловой машины сумма этих характеристик не изменяется. В термодинамике данная величина является очень важной. Ее назвали изменением энтропии.

С помощью понятия энтропии процесс поглощения тепла холодильником описывается выражением:

. (2.4)

Процесс отдачи тепла нагревателем описывается выражением:

. (2.5)

Получение тепла Q₂ холодильником при температуре T₂ сопровождается увеличением энтропии холодильника . Отдача тепла (–Q₁) нагревателем при температуре T₁ сопровождается уменьшением энтропии нагревателя . Сумма изменений энтропий равна нулю.

При работе первой тепловой машины возрастание энтропии холодильника больше, чем убыль энтропии нагревателя. При работе этой тепловой машины полная энтропия увеличивается. Старая машина называется необратимой тепловой машиной, в то время как модернизированная – обратимой (почему, будет понятно далее). Рассмотрим пример.

1. На стол поставили стакан кипятка. Кипяток стал остывать. Всего стакан отдаст тепла . Это тепло получит комната, практически с неизменной температурой 293 К. Энтропия комнаты увеличится на

(2.6)

Кипяток отдает тепло, при этом его температура изменяется. На до его разбивать на бесконечно малые кусочки. Отдача отрицательная . Уменьшение энтропии

(2.7)

За все время остывания итоговое изменение энтропии стакана равна сумме бесконечно малых

(2.8)

Полное изменение энтропии равно

(2.9)

Как видно, изменение энтропии положительно.

2. Деревянный брусок массой 1 кг с начальной скоростью 5 м/c скользит по демонстрационному столу при температуре 293 К. Насколько изменится энтропия всего мира после остановки бруска?

Вначале брусок обладал кинетической энергией. При скольжении из-за трения вся механическая энергия перешла в тепло, которая поглотилась помещением. Т.е. имеем

(2.10)

Соответствующее изменение энтропии равно

(2.11)

Как видно, при движении с трением энтропия растет. Закон возрастания энтропии является великим законом природы. Этот закон говорит, что любой природный процесс, происходящий самопроизвольно, сопровождается увеличением энтропии. Закон возрастания энтропии действует неукоснительно так же, как невозможность избавиться от трения.