Прямая в пространстве.

Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность составить уравнения прямой в пространстве – представить эту прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (7)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Однако при решении многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a={l,m,n}.

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М= {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

(8)

называемые каноническими уравнениямипрямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки: М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ ={x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения (8) принимают вид:

(9)

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

(10)

Для того, чтобы перейти от уравнений (7) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n₁n₂] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

 

Пример. Составим канонические уравнения прямой

.

Решение:

Найдем [n₁n₂]. n₁ = {2,1,-3}, n₂= {1,-5,4}. Тогда [n₁n₂] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.

Будем искать точку на прямой с координатой z₀=0. Для координат х₀ и у₀ получим систему уравнений , откуда х₀=2, у₀=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

.

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

 

Пример. Преобразовать прямую линию

заданной в общем виде, к канонической и параметрической форме.

Решение:

Для этого необходимо найти какую – нибудь точку, через которую проходит прямая линия (опорную точку). Пусть эта точка имеет координату (х, у, 0). Координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой, и система примет вид

Эта система имеет решение .

Итак, опорная точка имеет координаты .

Найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей:

.

Каноническое уравнение прямой имеет вид . Если обозначить общее значение этих дробей величиной t, , то рассматривая каждое равенство в отдельности , , , получим уравнение прямой линии в параметрической форме

 

Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:

Решение:

Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.

, т.е. А(0, 2, 1).

Находим компоненты направляющего вектора прямой.

Тогда канонические уравнения прямой:

Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Решение:

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

Итого: