Полная механическая энергия системы

 

Системой частиц может быть любое тело, газ, механизм, Солнечная система и т. д.

Кинетическая энергия системы частиц, как упоминалось выше, определяется суммой кинетических энергий частиц, входящих в данную систему.

Потенциальная энергия системы складывается из собственной потенциальной энергии частиц системы, , и потенциальной энергии системы во внешнем поле потенциальных сил .

Собственная потенциальная энергия обусловлена взаимным расположением частиц, принадлежащих данной системе (т.е. ее конфигурацией), между которыми действуют потенциальные силы, а также взаимодействием между отдельными частями системы. Можно показать, что работа всех внутренних потенциальных сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы:

. (3.23)

Примерами собственной потенциальной энергии являются энергия межмолекулярного взаимодействия в газах и жидкостях, энергия электростатического взаимодействия неподвижных точечных зарядов. Примером внешней потенциальной энергии является энергия тела, поднятого над по­верхностью Земли, так как она обусловлена действием на тело пос­тоянной внешней потенциальной силы - силы тяжести.

Разделим силы, действующие на систему частиц, на внутренние и внешние, а внутренние - на потенциальные и непотенциальные. Представим (3.10) в виде

. (3.24)

Перепишем (3.24) с учетом (3.23):

. . (3.25)

Величина, сумма кинетической и собственной по­тенциальной энергии системы, является полной механической эне­ргией системы. Перепишем (3.25) в виде:

, (3.26)

т.е., приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних непотенциальных сил и всех внешних сил.

Если в (3.26) положить A_внешн =0 (это равенство означает, что система является замкнутой) и (что равносильно отсутствию внутренних непотенциальных сил), то получим:

. (3.27)

Оба равенства (3.27) являются выражениями закона сохранения механической энергии: механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой отсутствуют непотенциальные силы, сохраняется в процес­се движения, Такую систему называют консервативной. С достаточной степенью точности замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему. При движении замкнутой консервативной си­стемы сохраняется полная механическая энергия, в то время как кинетическая и потенциальная энергия изме­няются. Однако эти изменения такие, что приращение одной из них в точности равно уменьшению другой.

Если замк­нутая система не является консервативной, т. е. в ней действуют непотенциальные силы, например, силы трения, то механическая энергия такой систе­мы, убывает, так как расходуется на работу против этих сил. Закон сохранения механической энергии является лишь отдельным проявлением существующего в природе универсального закона сохранения и превращения энер­гии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она мо­жет только переходить из одной формы в другую или об­мениваться между отдельными частями материи. При этом понятие энергии расширяется введением понятий о новых формах ее кроме механической, - энергии электромагнитного поля, химической энергии, ядерной и др. Универсальный закон сохранения и превращения энер­гии охватыва­ет те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются. Этот закон имеет самостоятельное значение, так как получен на основе обобщений опытных фактов.

Пример 3.1. Найти работу, совершаемую упругой силой, действующей на материальную точку вдоль некоторой оси х. Сила подчиняется закону , где х - смещение точки из начального положения (в котором .х=x₁), - единичный вектор в направлении оси х.

Найдем элементарную работу упругой силы при перемещении точки на величину dx. В формулу (3.1) для элементарной работы подставим выражение для силы:

.

Затем найдем работу силы, выполним интегрирование вдоль оси x в пределах от x₁ до x:

. (3.28)

Формулу (3.28) можно применить для определения потенциальной энергии сжатой или растянутой пружины, которая первоначально находится в свободном состоянии, т.е. x₁=0 (коэффициент k называется коэффициеном жесткости пружины). Потенциальная энергия пружины при сжатии или растяжении равна работе против упругих сил, взятой с обратным знаком:

.

Пример 3.2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии.

Найти минимальную скорость u, которую надо сообщить снаряду, чтобы он поднялся на высоту H над поверхностью Земли (сопротивлением атмосферного воздуха пренебречь).

Направим ось координат от центра Земли по направлению полета снаряда. Начальная кинетическая энергия снаряда будет затрачена на работу против потенциальных сил гравитационного притяжения Земли. Формулу (3.10) с учетом формулы (3.3) можно представить в виде:

.

Здесь A – работа против силы гравитационного притяжения Земли (, g гравитационная постоянная, r – расстояние, отсчитываемое от центра Земли). Знак минус появляется из-за того, что проекция силы гравитационного притяжения на направление движения снаряда отрицательна. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что T(R+H)=0, T(R) = mυ²/2, получим:

Решив полученное уравнение относительно υ, найдем:

,

где - ускорение свободного падения на поверхности Земли.