Лекция № 8-9. Уравнения, неравенства и их системы в ШКМ (часть 2).

II. Виды уравнений (неравенств) и способы их решения.

  1. Уравнения и неравенства 1-ой степени.

Самостоятельно: Решите уравнение (неравенство) 1-ой степени, выделяя шаги решения.

Уравнение 2(3 – 4х) + 5 = х – 3 Неравенство 2(3 – 4х) + 5 < х – 3
1. Раскрыть скобки
   
2. Перенести слагаемые, содержащие неизвестную, в одну часть уравнения (неравенства), поменяв при этом знак переносимого слагаемого на противоположный
   
Привести подобные слагаемые
   
4. Обе части уравнения (неравенства) разделить на коэффициент при неизвестной (если он не равен 0). При решении неравенств, если коэффициент отрицательный, то знак неравенства сменить на противоположный.
   
   
5. Записать ответ 5. Нанести решение на числовую прямую
   
6. Записать ответ в виде промежутка
 

 

  1. Уравнения и неравенства 2-ой степени.

Самостоятельно: Решите уравнения (неравенства) 2-ой степени, выделяя шаги решения.

Уравнение 1: х2 – 6х + 8 = 0.

Способ 1 (через дискриминант) Способ 2 (по формуле четного коэффициента) Способ 3 (по теореме, обратной теореме Виета, если а = 1)
1. Найти дискриминант D = 1. Найти ¼ дискриминанта по формуле:     1. Составить систему:
2. Вычислить корни по формуле х1, 2 = , если D ³ 0.   2. Вычислить корни по формуле х1, 2 = , если D ³ 0.   2. Перечислить модули чисел так, чтобы их произведение равнялось  
3. Определить знаки корней (если произведение положительно, то корни имеют тот же знак, что и сумма корней; если произведение отрицательно, то корни имею разный знак). Корни данного уравнения ………………………………
4. Подобрать корни по заданной сумме:=… =

 

Уравнение 2: х2 + 2х – 8 = 0

Способ 1 (через дискриминант) Способ 2 (по формуле четного коэффициента) Способ 3 (по теореме, обратной теореме Виета, если а = 1)    

х2 – 6х + 8 > 0.

Способ 1 (метод интервалов) Способ 2 (схематическое построение параболы)
1. Найти нули (составить уравнение и найти его корни) =… = … 1. Определить точки пересечения параболы с осью Ох (решить квадратное уравнение) =… = …
2. Построить интервалы (нанести нули на числовую прямую и выделить интервалы)     2. Определить направление ветвей параболы (если а > 0, то ветви – вверх, если а < 0, то ветви – вниз). а = … …0, значит, ветви направлены…
3. Определить знак выражения (функции) на каждом из интервалов (для квадратичной функции знаки чередуются, значит, достаточно определить знак на одном из интервалов).
 
 

 

 

 3. Построить схематически график
4. Выбрать промежутки, соответствующие неравенству 4. Отметить промежутки, соответствующие неравенству, и записать ответ:

Самостоятельно: Запишите ответ для следующих неравенств:

Неравенство х2 – 6х + 8 < 0. х2 – 6х + 8 ³ 0.
Ответ    

 

  1. Дробно-рациональные уравнения и неравенства.
Уравнение Неравенство:
1. Свести уравнение к виду: «дробь» = 0 1. Свести неравенство к виду: «дробь» «знак неравенства» 0
2. Составить систему («дробь» = 0, когда «числитель» = 0, а «знаменатель» ¹ 0). 2. Составить две системы, при которых дробь будет иметь заданный знак 2. Решить неравенство методом интервалов (НИЗО)
3. Решить систему (решить 1-ое уравнение; сделать проверку, удовлетворяют ли корни условию «знаменатель» ¹ 0). Þ х = 4 Ответ: 4. 3. Решить составленные системы неравенств. ; х = –1; х = 4.
 
 

 


 
 

 


Ответ:

   

Замечание. Неравенство можно было упростить.

Способ 1. Умножить обе части неравенства на –1:

.

Способ 2. Разложить числитель на множители и сократить дробь:

; ;;;;