Векторное поле и его характеристики.

 

Векторным полем называют часть пространства, каждой точке которого ставится в соответствие вектор . В декартовых координатах ,

где – проекции на координатные оси.

Геометрически векторное поле можно изобразить векторными линиями (это кривые, в каждой точке которых касается этих линий) Дифференциальные уравнения векторных линий

.

Определение. Потоком векторного поля через поверхность называют поверхностный интеграл

, (53)

где – единичный вектор нормали к , указывающий избранную сторону поверхности. С учетом , , получим формулы для вычисления потока

Если представляет поле скоростей текущей жидкости, то П равен количеству жидкости, протекающей через за единицу времени.

Предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность к объему, ограниченному , когда стягивается в точку , называют дивергенцией (или расходимостью) поля в точке :

.

В декартовых координатах:

(54)

Поток через замкнутую поверхность можно вычислить по формуле Остроградского–Гаусса: (55)

Определение. Криволинейный интеграл вектора вдоль замкнутой кривой называют циркуляцией вектора по этой кривой.

, (56)

где касательный к , .

Если – сила, действующая на материальную точку, – траектория этой точки, то – составляющая , равна силе, направленной по касательной и действующей на элемент контура , тогда – суммарная сила, действующая на весь контур и направленная так, что каждую точку контура она стремится сдвинуть по касательной к контуру в этой точке, то есть циркуляция поля силы характеризует вращательную способность поля на контуре.

Определение. Плотностью циркуляции в точке в данном направлении называют предел отношения циркуляции поля по контуру , окружающему точку и лежащему в плоскости , к площади , ограниченной , когда контур стягивается в точку :

Определение. Ротором поля в данной точке называют вектор проекция которого на любое направление равна плотности циркуляции поля в данной точке по тому же направлению.

В координатной форме

(57)

Циркуляцию можно вычислить по формуле Стокса

, (58)

где – поверхность, натянутая на контур .

В координатной форме