Введение.

Список литературы.

Заключительная часть

Отражение бегущей волны.

Сферические и цилиндрические расходящиеся волны.

Введение.

План лекции

Фондовая лекция

по физике

 

 

Тема:Упругие волны

 

 

Обсуждена и одобрена на заседании кафедры

 

протокол №_____________________________

от «__» _______________________ 2007 г.

 

 

Воронеж

 

 

Основная часть:

1. Основные определения.

2. Уравнение плоской гармонической волны.

4. Волновое уравнение.

5. Объемная плотность энергии. Плотность потока энергии.

6. Дисперсия. Групповая скорость.

7. Интерференция волн.

8. Стоячие волны. Собственные колебания.

10. Эффект Доплера в акустике.

 

 

 

 

Волной называется процесс распространения возмущения состояния среды. Возмущение – это всякое выведение точек среды из состояния равновесия (хотя бы одной точки). При этом среда рассматривается как сплошная, не учитывается ее дискретное строение. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется без переноса вещества.

Основными видами волн являются упругие ( в частности, звуковые и сейсмические) волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (к числу последних относятся, в частности, световые волны и радиоволны).

Волны могут иметь различную форму. Одиночной волной или импульсом называется короткое возмущение, не имеющее регулярного характера. Ограниченный ряд повторяющихся возмущений называется цугом волн. Обычно под цугом понимают отрезок синусоиды . Особое значение в теории волн имеет гармоническая волна, т.е. бесконечная синусоидальная волна, в которой изменение состояния среды происходит по закону синуса или косинуса . Мы начнем с рассмотрения упругих гармонических волн. Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v— в среде возникнет волна.

 

Основная часть

 

Упругие волны

 

Основные определения.Если непрерывная среда обладает упру-гими свойствами, то движение точек в одном месте среды (в источнике) приводит к распространению этого движения с определенной скоростью в виде упругой волны. Волновое движение среды описывают функцией x(г,t), задающей смещение частицы среды от равновесного положения г в момент времени t. (Частицей среды называют достаточно маленький макроскопический, т.е. содержащий большое число атомов и молекул, элемент среды.) Упругая волна может распространяться в трехмерной среде, двухмерной среде (упругая мембрана) и одномерной среде (упругий стержень, натянутая жесткая нить, столб воздуха). Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

Простейший вид волны— плоская волна, в которой функция x=x,(х,t) меняется только в одном направлении и зависит от координаты х. Если при этом вектор x перпендикулярен направлению распространения волны, то волна называется поперечной, а если параллелен — продольной.

Среда называется однородной, если все ее точки эквивалентны, изо-тропной, если в ней равноправны все направления, упругой, если воз-никающие силы зависят только от смещения (деформации), линейной, если силы пропорциональны деформациям. В абсолютно упругой среде механическая энергия волны не рассеивается (не превращается во внут-реннюю). Если среда обладает только объемной упругостью, то в ней могут распространяться только продольные волны (жидкость, газ), если она обладает также упругостью формы, то возможны и поперечные " (сдвиговые) волны. В линейной среде распространение волн описывается линейными дифференциальными уравнениями, и осуществляется принцип суперпозиции: если два независимых источника вызывают две разных волны x₁ (r,t) и x₂ (r,t) то совместное действие источников вызовет волну x( r,t) = x₁ (r,t) + x₂ (r,t). Такое же утверждение верно и для одного источника, движение которого можно разложить на два движения. Поскольку любую функцию времени можно представить в виде интеграла Фурье по гармоническим функциям, то волновое движение линейной среды можно разложить на гармонические волны. Через произвольную точку гармонической волны можно провести единственную поверхность постоянной фазы, которая называется волновой поверхностью. Волновая поверхность, совпадающая с передним краем волнового возмущения, называется фронтом волны.

Уравнение плоской гармонической волны.Если в источнике смещение происходит по закону x (0, t) = x_m coswt, то в точках с координатой х смещение происходит по такому же закону, но с запаздыванием на x/υ, где υ —скорость распространения волны:

 

x (x, t) =x_mcos=x_mcos() =x_mcos(ωt-kx), (1)

где λ = 2p υ /ω= υ T — длина волны, k =w/υ = 2p/l — волновое число. Длина волны представляет собой кратчайшее расстояние между точками, совершающими синхронные колебания (разность фаз Δφ = 2π); длина волны представляет собой пространственный период профиля гармонической волны в любой момент времени. Разность фаз между произвольными точками волны равна Δφ = 2 π (х₂ — x₁}/λ.. В уравнении (1) предполагается, что потери энергии на расстоянии х пренебрежимо малы; небольшое рассеивание энергии можно учесть эмпирически, введя в (1) множитель ехр(—γx), где γ ~ коэффициент затухания волны. Если ввести волновой вектор k, направленный перпендикулярно фронту волны в сторону ее распространения, то (1) принимает вид, инвариантный по отношению к выбору системы координат:

x(r, t) =x_mcos(ωt-kг), ( r, t)= e^i(ωt-kr) (2) (2)

Последняя форма записи уравнения бегущей волны использует формулу Эйлера; физический смысл имеет только действительная часть Re x. Если скорость волны не зависит от частоты (отсутствует дисперсия), то плоское волновое возмущение любой формы распространяется без искажения формы.

Сферические и цилиндрические расходящиеся волны.Если волна распространяется от точечного (сферического) или линейного (цилиндрического) источника изотропно по всем направлениям, то волновые поверхности будут иметь соответственно форму сфер или круговых цилиндров. В этих случаях уравнения расходящихся волн в отсутствие потерь энергии имеют следующий вид:

x(r, t) =cos(ωt — kr) (сферическая волна),

x(r, t) =cos(ωt — kR) (цилиндрическая волна),

где r = , R = . Убывание амплитуды происходит вследствие возрастания площади волновой поверхности; закон сохранения энергии требует, чтобы поток энергии оставался постоянным (напомним, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды; также см. ниже).

Волновое уравнение.Непосредственной подстановкой можно убедиться, что смещение гармонической волны x (r, t) удовлетворяет уравнению

или , (3)

которое называется волновым уравнением. Если скорость гармонической волны не зависит от частоты (зависимость ωот k является линейной, т.е. отсутствует дисперсия), то такому же уравнению удовлетворяет любая суперпозиция плоских волн. Верно также и обратное утверждение: если уравнение движения частицы среды удалось привести к (3), то волновые возмущения данной среды распространяются со скоростью v.