I. Разрыв первого рода.
Классификация точек разрыва функции
Кроме непрерывности функции в точке рассматривают также одностороннюю непрерывность.
Определение 1. Функция непрерывна слева в точке , если определена в этой точке и некоторой левой полуокрестности точки и
. (1)
Определение 2. Функция непрерывна справа в точке , если она определена в этой точке и некоторой правой полуокрестности этой точки и
. (2)
Непрерывность, описанная определениями 1 и 2 называется односторонней непрерывностью функции в точке.
Определение 3. Функция непрерывна в точке , если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если
Если нарушается хотя бы одно условие определения 3, то функция имеет разрыв в точке .
В зависимости от того, какое условие определения 3 нарушено, дают классификацию точек разрыва:
1. Допустим, что в точке функция имеет равные (конечные) односторонние пределы, которые не равны значению функции в точке , т.е.
.
В этом случае точка называется точкой устранимого разрыва.
Если функцию доопределить значением равным односторонним пределам или изменить ее значение на такое, то разрыв устраняется и функция становиться непрерывной.
2. Допустим, что в точке существуют конечные неравные односторонние пределы:
, , .
В этом случае точка называется точкой конечного разрыва. Величина называется скачком функции в точке разрыва.
Такой разрыв устранить невозможно, т.к. нарушено условие того, что это график функции.