Двойной интеграл. Вычисление двойных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.
Пусть функция определена в ограниченной замкнутой области (S) плоскости (XOY).
Интегральной суммойназывается сумма вида ,
тогда ,
где , , …, – площади частичных областей,
– диаметр ,
точка элементарной области.
В декартовых координатах двойной интеграл записывают в виде .
Различают два основных вида области интегрирования.
1) Область интегрирования (S) ограничена слева и справа прямыми и , а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , каждая из которой пересекается прямой, параллельной оси , только в одной точке (рис. 7).
y=y2(x) |
y |
x |
a |
b |
yвых |
yвх |
y=y1(x) |
Рис. 7. |
, (40)
причем сначала вычисляется интеграл , где .
2) Область интегрирования (S) ограничена снизу и сверху прямыми и , а слева и справа – непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси , только в одной точке (рис. 8).
x=x2(y) |
y |
x |
c |
d |
xвых |
xвх |
x=x1(y) |
Рис. 8. |
, (41)
причем сначала вычисляется интеграл , в котором переменная .