ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

 

Операционное исчисление широко используется в физике, механике, электротехнике, автоматике, телемеханике и т.д. Основоположником операционного исчисления считают английского инженера-электрика О. Хевисайда (1850 – 1925).

 

Преобразование Лапласа

 

Пусть функция f(t) действительной переменной t, определённая при t ≥ 0 (при −∞ < t < +∞, берут f(t) = 0 при t < 0), кусочно непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.

Для обеспечения существования некоторых интегралов в бесконечном интервале 0 < t < +∞ наложим на функцию f(t) дополнительное условие: пусть существует число М > 0 и s₀ > 0 такие, что

| f(t)| < М (1)

при любом t [0, +∞); число s₀ − показатель роста функции f(t).

Рассмотрим функцию

 

е^−рtf(t), (2)

где р = а + ib (a > 0 или Re p > 0) – некоторое комплексное число.

Тогда функция (2) является комплексной функцией действительной переменной t:

е^−рtf(t) = е^{−(a + ib)t}f(t) = е^−atf(t) е^−ibt =

 

= е^−atf(t)− iе^−atf(t).

Рассмотрим несобственный интеграл:

= − i. (3)

Если f(t) удовлетворяет условию (1) и a > s₀, то интегралы, стоящие в правой части (3), существуют и абсолютно сходятся.

Действительно, оценим 1-ый интеграл:

|| ≤ < M = M=

 

= ,

т.е. интеграл сходится абсолютно.

Аналогично оценивается 2-ой интеграл. Итак, существует. Он определяет некоторую функцию от р, которую обозначим F(p):

F(p) = . (4)

 

Функция F(p) – функция комплексного переменного и она является аналитической в полуплоскости Re p > s₀ :

 

Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t), L-изображением, просто изображением функции f(t) или преобразованием Лапласа.

Функцию f(t) называют начальной функцией или оригиналом.

Если F(p) есть изображение функции f(t), то будем писать:

 

F(p) f(t)

или

f(t) F(p),

или

L{ f(t)} = F(p).

Процесс нахождения изображения для заданного оригинала и обратно, нахождение оригинала по известному изображению называется операционным исчислением.

Теорема единственности. Если две непрерывные функции φ(t) и ψ(t) имеют одно и то же L−изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Из теоремы следует: если при решении практической задачи найдено изображение искомой функции, а потом по изображению найдена сама функция, то она единственная.

 

Изображения простейших функций

1. Функцию

f(t) =

называют единичной функцией Хевисайда и обозначают σ₀(t):

 

 

Очевидно, что показатель роста этой функции s₀ = 0. Найдем L-изображе-

ние этой функции в области Re p > 0:

 

L{σ₀(t)} == = = .

Таким образом,

 

1 или σ₀(t) . (5)

2. f(t) = .

L{} == = +

 

+ p= p= = p(−−

− p) = p − p² L{}.

Отсюда

L{} = (Re p > 0), т.е.

. (6)

 

3. f(t) = .

При выводе формулы (6) мы получили

L{} = p, т.е. L{} = р L{}. Откуда

L{} =

или

. (7)

 

Изображение функции f(αt)

 

Теорема подобия. Если

f(t) F(p), то

f(αt) F() (8)

(α > 0, Re p > ).

○ Найдем изображение функции f(αt):

L{ f(αt)}== = = F(), т.е.

 

f(αt) F(). ●

Пусть f(αt) = . Если

, то ∙ или

 

. (9)

Пусть f(αt) = . Если

, то ∙ или

 

. (10)

 

 

Свойство линейности

Теорема. Изображение суммы нескольких функций, умноженных на постоянные, равняется сумме изображений этих функций, умноженных на соответствующие постоянные, т.е. если

f(t) = (с_i = const) (*)

и

F(p) f(t), F_i(p) f_i(t),

то

F(p) = . (11)

○ Умножая все члены равенства (*) на е^−рt и интегрируя по t в пределах от 0 до +∞ (вынося множители с_i за знак интеграла), получим

 

,

но

и .

Тогда . ●

Пример. Найти изображение функции

f(t) = 3σ₀(t) + 2.

□

В силу (5), (10) и (11) имеем

L{ f(t)} = 3L{σ₀(t)} + 2L{} = +

или

F(p) = + .

■

Пример. Найти оригинал изображения

F(p) = + .

□

Представим изображение в виде

F(p) = 2∙+ ∙.

Имеем

σ₀(t), .

Следовательно, оригинал

f(t) = 2σ₀(t) +

или

f(t) = 2 + .

■

 

Теорема смещения

Теорема. Если

F(p) f(t),

то

F(p + α) е^−αt f(t) (12)

(Re (p + α) > s₀).

 

○ Найдем изображение функции е^−αtf(t):

L{е^−αtf(t)} === F(p + α),

т.е.

F(p + α) е^−αt f(t). ●

 

Доказанная теорема позволяет значительно расширить класс изображений, для которых легко находятся начальные функции.

Так как 1, то по формуле (12)

е^−αt (13)

и

е^αt . ()

Вычтем из () равенство (13) и разделим на 2:

(− ) ( е^αt − е^−αt)

или

Sh αt. (14)

Сложим () с (13) и разделим на 2:

 

Сh αt. (15)

Так как , то

е^−αt. (16)

Так как , то

 

е^−αt. (17)

 

Пример. Найти начальную функцию, изображение которой задается функцией

F(p) = .

□

Преобразуем F(p):

F(p) = = = = .

Следовательно, согласно (16):

 

F(p) е^−5t

или

f(t) = е^−5t.

■

 

Пример. Найти оригинал изображения

F(p) = .

□

Преобразуем изображение:

F(p) = = = + = +

+ ∙.

Следовательно,

F(p) е^−t+ е^−t

или

f(t) = е^−t+ е^−t.

■

 

Дифференцирование изображения

Теорема. Если

F(p) f(t),

то

(−1)^пtⁿ f(t) (18)

или

(−t)ⁿ f(t) (1)

○ Если Re p > s₀, где s₀ – роста функции f(t), то интеграл

существует при любом п = 1, 2, … .

Но этот интеграл можно рассматривать как производную п-го порядка по параметру р от интеграла

.

Например, при п = 1:

 

= .

Таким образом,

 

или

(−1)^п= .

Окончательно,

 

(−1)^пtⁿ f(t). ●

Пример. Известно, что 1. Найти изображение функции tⁿ.

□

На основании (18)

при п = 1:

(−1)t или t;

при п = 2:

(−1)²t², −(−) t²

или

t²;

при п = 3:

(−1)³t³, −(−) t³

или

t³.

Тогда для произвольного п:

t^п. (19)

Пример. Известно, что е^−αt. Найти изображение функции tе^−αt.

□

На основании (18) при п = 1:

(−1)tе^−αt

или

tе^−αt.

■

Дифференцирование оригинала

(изображение производных)

 

Теорема. Если

F(p) f(t),

то

р F(p) − f(0) (t) (20)

(Re p > s₀).

При этом предполагается, функция f(t) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную (t) на [0, +∞) c разрывами первого рода и показатели роста (t) и (t) равны s₀.

○ По определению изображения

L{(t)} === =

 

=(е^−рtf(t) +p) = − f(0) + pF(p) (Re p > s₀),

потому что

| е^−рcf(c) | ≤ е^−рcM= M0.

Таким образом,

 

р F(p) − f(0) (t). ●

 

Следствие. Справедлива формула изображения для производной п-го порядка:

 

p^пF(p) − p^п−1f(0) − p^п−2(0) − …− pf ⁽ⁿ⁻²⁾(0) − f ⁽ⁿ⁻¹⁾(0) f ⁽ⁿ⁾(t). (21)

 

○ Пусть

φ(t) = (t) и Φ(p) φ(t) = (t). В то же время

рF(p) − f(0) (t),

следовательно,

Φ(p) = рF(p) − f(0).

Найдем изображение функции

(t) = (t):

рΦ(p) − φ(0) (t) = (t).

Значит,

р(рF(p) − f(0)) −(0) (t)

или

p²F(p) − pf(0) −(0) (t)

и т.д. ●

Замечание. Если

f(0) =(0) = … = f ⁽ⁿ⁻¹⁾(0) = 0,

то

p^пF(p) f ⁽ⁿ⁾(t).

 

Пример. Найти изображение функции

f(t) = .

□

Пусть F(p) = f(t). Тогда

 

рF(p) − f(0) (t).

Но

f(0) = = 1,

(t)=−2= −−.

Следовательно,

рF(p) − 1 = −,

откуда

F(p) = (1 − ) = .

■

 

Интегрирование оригинала

 

Теорема. Если

F(p) f(t),

то

. (22)

 

Пример. Найти изображение функции

.

□

Имеем

.

По теореме об интегрировании оригинала

.

■

 

Интегрирование изображения

Теорема. Если интеграл

сходится, то он является изображением функции

,

т.е. . (23)

 

Следствие.

= , (24)

если сходятся соответствующие несобственные интегралы.

 

Пример. Найти изображение функции

.

□

Известно, что . Поэтому по теореме об интегрировании изображения

==−,

т.е.

− .

■

 

Пример. Найти интеграл

.

□

Используя предыдущий пример и последнее следствие, получим

 

== = .

■

 

Запаздывание оригинала

Теорема. Пусть f(t) > 0 при t < 0, тогда

L{f(t – t₀} = L{f(t)}, (25)

где t₀ – некоторая точка.

○ Имеем

L{f(t – t₀} = = + =

 

== = = =

 

= L{f(u)}. ●

 

Пример. Так как

L{σ₀(t)} = ,

то

L{σ₀(t – h)} =

 

■

 

 

Решение дифференциальных уравнений операционным методом

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами

а_пх^(п)(t) + а_п−1 х^(п−1)(t) + … + а₁(t) + а₀х(t) = f(t). (1)

 

Требуется найти решение уравнения (1) для t > 0 при начальных условиях

х(0) = х₀, (0) = , …, х^(п-1)(0) = х₀^(п-1). (2)

 

Другими словами, требуется решить задачу Коши.

Предположим, что функция х(t) является решением (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). Тогда после подстановки этой функции в (1) мы получим тождество. Значит, функция, стоящая в левой части (1), и функция f(t) имеют одно и то же L-изображение:

L{} = L{f(t)}.

В силу следствия теоремы о дифференцировании оригинала имеем

L{} = p^kL{х}− p^k−1x(0) − … − p х^(k-2)(0) − х^(k-1)(0).

Поэтому, используя свойство линейности изображения, получим

а_пL{}+ а_п-1L{}+…+ а₀L{х} = L{f(t)}:

а_п(p^пL{х} − p^п−1x₀ − …− p х₀^(п-2) − х₀^(п-1)) + а_п-1(p^п-1L{х} − p^п−2x₀ −…− pх₀^(п-3) − х₀^(п-2)) +

 

+…+ а₁(L{х}− x₀) + а₀L{х} = L{f(t)}.

Введем обозначения:

L{х} = (р), L{f(t)} = F(p).

Тогда

(р)∙(а_пp^п + а_п-1p^п-1 +…+ а₁p + а₀) = а_п(p^п−1x₀ + p^п−2+…+ х₀^(п-1)) +

 

+ а_п-1(p^п−2 x₀ + p^п−3+…+ х₀^(п-2)) +… + а₂(px₀ + ) + а₁x₀ + F(p). (3)

Уравнение (3) называют вспомогательным уравнением или изображающим уравнением, или операторным уравнением.

Видно, что коэффициент при (р) в (3) получается из левой части (1) формальной заменой производных на степени p^k. Обозначим этот коэффициент через

R_n(p) = (а_пp^п + а_п-1p^п-1 +…+ а₁p + а₀).

 

Очевидно, что этот коэффициент является левой частью характеристического уравнения для дифференциального уравнения (1).

Правую часть уравнения (3), кроме F(p), обозначим через Ψ_п-1(р):

 

Ψ_п-1(р) = а_п(p^п−1x₀ + p^п−2+…+ х₀^(п-1)) + а_п-1(p^п−2 x₀ + p^п−3+…+ х₀^(п-1)) +…

 

…+ а₂(px₀ +) + а₁x₀.

Тогда уравнение (3) примет вид:

 

(р)∙R_n(p) = F(p) + (р)

или

(р) = + . (4)

Если начальные условия нулевые, т.е.

х₀ == … = х₀^(п-1) = 0,

то формула (4) запишется

(р) = . ()

 

Если теперь по изображению (4) или () мы найдем оригинал, то в силу теоремы единственности это и будет искомое решение х(t).

 

Пример. Решить уравнение

+ 4х = 2, х(0) =(0) = 0 или х₀ == 0.

□

Так как начальные условия нулевые, то используем формулу (). Имеем

2 = F(p), R₂(p) = р² + 4.

Следовательно,

(р) = .

Разложим изображение на простейшие дроби:

(р) = = + = = !

 

2 = (А + В)р² + Ср + 4А,

 

.

! = ∙− ∙.

 

Следовательно,

(р) = = ∙− ∙− ∙,

т.е.

х(t) = − ∙.

■

 

Пример. Решить уравнение

+ − 2х = 0, х₀ = 1, = 0.

□

Имеем

(р) х(t), р(р) – х₀ (t),

 

р²(р) – рх₀ − (t).

Подставляем в уравнение с учетом начальных условий

р²(р) – р + р(р) – 1− 2(р) = 0,

 

(р)( р² + р − 2) = р + 1,

 

(р) = .

Разложим изображение на простейшие дроби:

(р) = = =+ = = !

р + 1 = (А + В)р + (−А + 2В),

 

.

! = ∙+ ∙.

 

Следовательно,

(р) = = ∙+ ∙e^−2t + e^t,

т.е.

х(t) = e^−2t + e^t.

■

 

 

Нахождение оригиналов для рациональных дробей

При решении дифференциальных уравнений операционным методом мы столкнулись с определением решения ДУ (определением оригинала) от рациональных дробей, выражающих изображение.

Пусть изображение некоторой функции есть правильная рациональная дробь. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде простейших (элементарных) дробей четырех видов:

 

1. ;

2. , где k – кратность корня;

3. , где корни знаменателя комплексные, т.е. < 0;

4. , где k ≥ 0, корни знаменателя комплексные.

 

Запишем для этих дробей оригиналы.

 

1. Аe^at.

Здесь использованы: формула 1, свойство линейности и теорема смещения: F(p + α) е^−αt f(t).

 

2. .

Соотношение получено на основании теоремы о дифференцировании изображения (t^п) и теоремы смещения (F(p + α) е^−αt f(t)):

из формулы t^п следует

 

t^k−1, , .

С учетом теоремы смещения:

 

.

 

3. Рассмотрим дробь .

 

Произведем тождественные преобразования:

 

= = =

 

= =

 

= .

 

Тогда для первого слагаемого

.

Здесь использованы: соотношение и теорема смещения F(p + α) е^−αt f(t).

Используя соотношение и теорему смещения, получим для второго слагаемого

 

.

 

Таким образом,

+ .

 

Для простейшей рациональной дроби четвертого вида получаются довольно сложные вычисления. При необходимости результат можно найти в справочниках.

Формулы Дюамеля

 

В тех случаях, когда возникают трудности при нахождении изображения F(p) правой части f(t) дифференциального уравнения можно применить метод решения, основанный на формулах Дюамеля.

При выводе формул Дюамеля используется теорема свертывания. Поэтому сначала приведем эту теорему.

 

Теорема свертывания. Если

 

F₁(p) f₁(t) и F₂(p) f₂(t), то

 

F₁(p)∙ F₂(p)