Определение нормальных напряжений при чистом изгибе балки
Нормальных напряжений при чистом изгибе балки
Лекция 8
Рассмотрим консольную балку* произвольного поперечного сечения, постоянного по длине, нагруженную в вертикальной плоскости моментом 
(рис. 7.8,а). При такой нагрузке 
= 0, а 
= .
При прямом чистом изгибе балки справедливы:
1. Гипотеза плоских сеченийБернулли– сечения плоские и нормальные к оси балки до деформации остаются плоскими и нормальными к ее оси и после деформации.
2. Гипотеза о ненадавливаемости волокон: нормальные напряжения в продольных сечениях балки не возникают.
 |
Рис. 8.1.
Т.к. поперечные силы= 0, то можно предположить, что не возникают в плоскости поперечных сечений и касательные напряжения.
Двумя поперечными сечениями 
и + 
вырежем из балки элемент длиной (рис.8.1,б). На его торцах возникнут изгибающие моменты , которые вызовут деформацию изгиба (рис. 8.1,в): продольная ось (волокно 
) изогнется и получит радиус кривизны 
, длина же слоя не изменится, т.е. 
. Поперечные сечения при этом взаимно повернутся на угол 
. Волокно 
, расположенное на расстоянии 
от продольной оси (от слоя ), удлинится и займет положение 
.
Относительное удлинение волокна :
.
Т.к. каждое волокно согласно принятым выше гипотезам испытывает одноосное напряженное состояние, то, применив закон Гука, получим :
.
Таким образом, нормальные напряжения распределяются по линейному закону. Определим их из условия равновесия элемента балки. При равновесии должны соблюдаться шесть уравнений равновесия:
1. Т.к. внутренние силы 
перпендикулярны осям 
и , то 
; 
.
2. 
или 
.
Получим
,
но 
; 
(ось балки изогнута). Следовательно, 
[м3].
Статический момент площади 
равен нулю относительно центральной оси. Следовательно, нейтральная ось при изгибе совпадает с центральной осью поперечного сечения.
3. Уравнение 
обращается в тождество, т.к. внутренние силы параллельны оси.
4. Уравнение 
дает 
.
Получим
.
Рис. 8.2 Рис. 8.3
Т.к. 
, то тогда центробежный момент инерции 
. Тогда и - главные оси сечения, а момент должен лежать в главной плоскости, что и выполняется. Отсюда следует: силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны.
5. Приравниваем нулю сумму моментов сил относительно оси :
; 
; Получим:
или 
,
где 
– кривизна нейтрального слоя балки; 
– жесткость поперечного сечения балки на изгиб относительно оси . Уравнение называютосновным уравнением изгиба.
Получим искомую формулу:
,
где: – внутренний изгибающий момент в сечении, в котором определяют 
[Н×м]; 
– осевой момент инерции поперечного сечения относительно нейтрального слоя [м4]; –расстояние от нейтрального слоя до слоя, в котором определяют напряжения [м].
Эпюра нормальных напряжениипредставлена на рис. 8.3. Наибольшие напряжения возникают в крайних волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения балки.