Эти формулы называют формулами Эйлера.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом тем, перемещается,оставаясь параллельной своему начальному направлению.Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей: если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Пусть система сил F₁, F₂…F_n приводится к равнодействующей R, линия действия которой проходит через некоторую точку С (рис. 41). Приложим в этой точке силу R =-R. Тогда система сил F₁, F₂…F_n,R будет находиться в равновесии и для нее должно выполняться условие Мo=0, т. е. согласно формуле для данных сил (включая силу R) должно быть (F_k)+m_o(R')=0. Но так как R'=-R и обе силы направлены вдоль одной и той же прямой, то m_o(R')=- m_o(R). Следовательно,m_o(R)=(F_k).Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользоваться при вычислении моментов сил.

11.Парой сил называется система двух равных по модулю,параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело. Пара сил не имеет равнодействующей, поскольку, равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору т. е. сумме этих сил. Плоскость, проходящая через линии действия пары сил, называется плоскостью действия пары. Расстояние между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который характеризуется величиной, называемой моментом пары. Этот момент определяется: 1) его модулем, равным произведению Fd;2)положением в пространстве плоскости действия пары; 3)направлением поворота пары в этой плоскости. Как и момент силы относительно центра, это величина векторная.Моментом пары сил называется вектор m (или М), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки. Момент пары сил положителен, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицателен в противоположном случае. Момент пары определяется по формуле (рис. 1.15):m(F_1,F₂)=± F*d, где F=F₁=F₂.

Момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, т. е.m=m₀(F)+m₀(F'). Расстояние между линиями действия сил пары называется ее плечом.

Cвойства пары сил:а)пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары; б)у данной пары, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент; в)пару, не изменяя оказываемого ею на твердое тело действия, можно перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, параллельную данной.теорема об эквивалентности пар: все пары сил, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые по величине и знаку моменты, эквивалентны. Из теоремы следует, что действие пары сил на твердое тело полностью определяется ее моментом

свойства пары сил:1)алгебраическая сумма проекций обеих сил, составляющих пару, на любую ось равна нулю;2)алгебраическая сумма моментов обеих сил, составляющих пару, относительно любой точки в плоскости пары равна моменту самой пары.

Путём изменения плеча и перемещения пары в плоскости дей­ствия или переноса в параллельную плос­кость, пары с одинако­выми моментами могут быть преобразованы од­на в другую.

Те­орема о сложении пар:система пар, действую­щих на абсолютно твер­дое тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометри­ческой сумме моментов слагаемых пар.

12. Плоская система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости, как показано выше, имеют вид:F'_гл=0;М_гл=(F_i)=0

Для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю. Главный вектор F'_гл представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Модуль главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы. Применив для сумм проекций всех сил на оси х и у обозначения и получим для значения главного вектора выражение F'_гл==0. Главный вектор равен нулю, если оба слагаемых под корнем равны нулю. Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный момент также был равен нулю Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил могут быть представлены в трех формах. Первая (основная форма этих уравнений): Три уравнения равновесия для плоской системы сил соответствует трем возможным степеням подвижности тела в плоскости - двум перемещениям вдоль осей х и у и вращению вокруг произвольной точки плоскости.

Так как при равновесии твердого тела сумма моментов всех приложенных к нему сил относительно любой точки равна нулю, то можно, выбрав три произвольные точки А, В, С и,приравняв к нулю сумму моментов относительно каждой из них, получить три следующих уравнения равновесия: .Это и есть вторая форма уравнений равновесия. Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.Третья форма уравнений равновесия представляет собой равенство нулю сумм моментов относительно двух произвольных точек А и В и равенство нулю суммы проекций на некоторую ось х: .При пользовании этой формой уравнений равновесия необходимо, чтобы ось х не была перпендикулярна линии, соединяющей точки А и В.

Для системы параллельных сил, выбрав одну из осей проекций, параллельной этим силам, а другую — перпендикулярной к ним, получим два уравнения равновесия

Первая форма уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примет вид:

Вторая и третья формы уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил примут одинаковый вид: Для произвольной плоской системы сил имеем три уравнения равновесия, а для плоской системы параллельных сил — только два.При решении задач на равновесие произвольной плоской системы сил можно найти три неизвестных, а при рассмотрении равновесия плоской системы параллельных сил — не более двух. Если количество неизвестных превышает число уравнений статики, задача становится статически неопределимой.

Сходящаяся система сил находится в равновесии в случае замкнутости силового многоугольника. Равнодействующая при этом равна нулю ( = 0). Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляющих сил на те же оси: Оба слагаемых, стоящих под знаком корня, во всех случаях положительны как величины, возведенные в квадрат. Поэтому =0 только при выполнении условий:

Рассматриваемая система сходящихся сил находится в равновесии, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю. Эти зависимости называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил

13. Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.Согласно основной теореме статики (теореме Пуансо) любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы (главного вектора системы) и пары сил (главного момента системы сил).Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил.

В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю. R = 0, Mo = 0.

В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю.ΣFkx = 0, ΣFky = 0, ΣFkz = 0,

Mx(Fk) = 0, My(Fk) = 0, Mz(Fk) = 0.

Условия равновесия могут быть использованы для решения задач на равновесие при определении неизвестных величин (реакций связей).

Чтобы задача была статически определимой, число неизвестных должно быть не более шести.Для системы параллельных сил условиями равновесия являются следующие равенства:ΣFkx = 0, Mx(Fk) = 0, My(Fk) = 0.

В частном случае линии действия сил, образующих пространственную систему, могут оказаться параллельными.

Тогда одну из осей (например, ось z) выгодно расположить параллельно силам, а две другие оси расположатся в плоскости, перпендикулярной к линиям действия сил.

Для уравновешенной пространственной системы параллельных сил вместо шести уравнений можно составить лишь три: алгебраическую сумму проекций сил на ось, параллельную данным силам, и два уравнения моментов относительно двух других осей. Остальные уравнения превратятся в тождество вида 0=0.

В соответствии с расположением осей уравнения равновесия имеют вид:

∑ Zi = 0; ∑ Mx(Pi) = 0; ∑ My(Pi) = 0.

Для пространственной системы параллельных сил можно составить лишь три уравнения равновесия, поэтому, чтобы задача была статически определимой, в ней должно содержаться не более трех неизвестных сил.

 

Равнодействующая R пространственной системы сходящихся сил приложена в точке пересечения линий действия слагаемых сил и является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на этих силах, т. е.R= Σ Fk

В отличие от соответствующей плоской задачи силовой многоугольник не является плоским, т.е. он представляет собой ломаную пространственную линию.

Проекции равнодействующей силы R на оси декартовых координат х, у, zравны суммам проекций слагаемых сил па соответствующие оси, т. е.

Rx= Σ Fkx , Ry= Σ Fky , Rz= Σ Fkz

Модуль равнодействующей R равен

 

направляющие косинусы даются формулами:

cos(R,^ i) = Rx / R , cos(R,^ j) = Ry / R , cos(R,^ k) = Rz / R

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю: R=0, т. е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид Σ Fkx =0, Σ Fky =0 , Σ Fkz =0

Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех (предполагается, что все силы не лежат на одной прямой или, в одной плоскости). Так, если известны направления всех сил, то можно определить модули трех сил.

14. Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в динамику, так как установление основных кинематических понятий и зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и самостоятельное практическое значение, например, при изучении передач движения в механизмах.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Установление математических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Поэтому изучение движения любого объекта будем начинать с установления способов задания этого движения.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

15. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая — криволинейным. Под движением понимают изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Выбор системы отсчета в кинематике произволен (определяется целью исследования), и в отличие от динамики, все кинематические зависимости, полученные при изучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой системе отсчета.

Пространство рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается 1 м. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета. За единицу времени принимается 1 с. Размерность длины обозначается символом L, а времени - символом Т.

Евклидово пространство и универсальное время отражают реальные свойства пространства и времени лишь приближенно.Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т. е. как функции времени. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента (t=0), о выборе которого в каждом случае условливаются. Всякий данный момент времени t определяется числом секунд, прошедших от начального момента до данного; разность между какими-нибудь двумя последовательными моментами времени называется промежутком времени.

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) -значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

16. Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Охуz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор r, проведенный из начала координат О в точку М.

При движении точки М вектор г будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению.Следовательно, r является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t: r=r(t)

Это равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времена построить соответствующий вектор r и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора r, т. е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.Аналитически вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для вектора r будет:r_x=x, r_y=y, r_z=z, где х, у,z - де­картовы координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) i,j,k координатных осей, получим дляr выра­жение r=xi+yi+zk.

Следовательно, зависимость r от t будет известна, если будут заданы коор­динаты х,у,z точки как функции време­ни. Такой способ задания движения точки (координатный) рассмотрим ниже. Век­тор r может быть задан, как известно, и иными способами, например его модулем и углами с осями или проекциями на оси других систем координат. Для получения общих формул, не зависящих от того, как конкретно задан векгорr, будем исходить из векторного закона дви­жения, представленного равенством r=r(t)

Координатный способ задания движения точки. Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости x=f₁(t), y=f₂(t),z=f₃(t) (3)

Эти уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения . 

Если движение точки происходит все время в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Оху, получим в этом случае два уравнения движения:x=f₁(t), y=f₂(t) (4)

При прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет определяться одним уравнением (законом прямолинейного движения точки) x=f(t) (5)

Уравнения (3) и (4) представляют собой одновременно уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Исключив из уравнений движения время t, можно найти уравнение траектории в обычной форме, т. е. в виде, дающем зависимость между координатами точки.

Естественный способ задания движения точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Охуz (рис. 115). Выберем на этой траектории какую- нибудь неподвижную точку О', которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси). Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О' до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим зна­ком. При движении точка М перемещается в положения М₁ М₂, следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент вре­мени, надо знать зависимость s=f(t). (6)

Это уравнение выражает закон движения точки М вдоль траектории.

Таким образом, чтобы занять движение точки естественным способом, надо задать: 1) траекторию точки; 2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлении отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s=f(t).

Величина s в уравнении (6) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь.

17.Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится

вмомент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто­ром r, а в момент t₁ приходит в положение М₁ определяемое векто­ром .Тогда перемещение точки за промежуток времени Δt=t₁-t определяется вектором ММ₁ который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется криволинейно (оис. 116, а), и вдоль самой траек­тории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 116, б).

Из треугольника OMM₁ видно, что r+MM₁=r₁; следовательно,

MM₁=r₁-r= Δr

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток вре­мени Δt:

υ_ср= MM₁/ Δt= Δr/ Δt

Направлен вектор υ_ср так же, как и вектор ММ₁, т. е. при криволинейном движении вдоль хорды ММ₁ в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от деления на Δt направление вектора не изменяется).

Чем меньше будет промежуток времени Δt, для которого вычислена средняя скорость, тем величина υ_ср будет точнее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости точки в данный момент времени.

Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина υ, к которой стремится средняя скорость υ_ср при стремлении промежутка времени Δt к нулю:

υ==

Предел отношения Δr/ Δt при Δt→0 представляет собой первую производную от вектора r по аргументу t и обозначается, как и производная от скалярной функции, символом dr/dt. Окончательно получаем

υ=

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ₁ является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Формула υ= показывает также, что вектор скорости υ равен отношению

элементарного перемещения точки dr, направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку времени dt.

При прямолинейном движении вектор скорости υ все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь численно; при криволинейном движении кроме числового значения все время изменяется и направление вектора скорости точки. Размерность скорости L/T, т. е. длина/время; в качестве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость υ, а в момент t₁ приходит в положение М₁ и имеет скорость υ₁ (рис. 117). Тогда за промежуток времени Δt=t₁-t скорость точки получает приращение Δυ= υ₁-υ

Для построения вектора Δυ отложим от точки М вектор, равный υ₁ и построим параллелограмм, в котором диагональю будет υ₁,а одной из сторон υ. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать векторΔυ . Заметим, что вектор Δυ всегда направлен в сторону вогнутости траектории. Отношение приращения вектора скорости Δυ к соответствующему промежутку времени Δt определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

A_ср= Δυ/ Δt

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор Δυ, т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени tназывается векторная величина а, к которой стремится среднее ускорение а_ср при

стремлении промежутка времени Δt к нулю: a== или, с учетом равенства a== . (10)

 

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения L/Т², т. е. длина/(время)²; в качестве единицы измерения применяется обычно м/с².

Из формулы (10) следует также, что вектор ускорения точки а равен отношению элементарного приращения вектора скорости dυ к соответствующему промежутку времени dt

Найдем, как располагается вектор а по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор а направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения а, так же как и вектор а_ср, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор а_ср направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке М₁ (рис. 117). В пределе,

когда точка М₁ стремится к М, эта плоскость занимает положениа так называемой соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки . Следовательно, в общем случае вектор ускорения а лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

18. Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если ез движение задано уравнениями (3) или (4).В равенствах, содержащих производные от векторов, переход к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, т. е. если q= , то q_x=, q_y=, q_z=, (11)

 

Определение скорости точки. Вектор скорости точки υ=dr/dt. Отсюда на основании формул (11), учитывая, что r_x=x, r_y=y, r_z=z найдем:υ_x= ,υ_y= ,υ_z= , или υ_x=x, υ_y=y, υ_z=z где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат течки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е. углы а, β, у, которые вектор υ образует с координатными осями) по формулам υ=

cos a=υ_x/υ, cos β=υ_y/υ, cos y=υ_z/υ

Определение ускорения точки. Вектор ускорения точки а=dυ/dt Отсюда на основании формул (11) получаем:

a_x= = , a_y= = , a_z= = ,

a_x= υ_x=x, a_y= υ_y=y, a_z=υ_z=z

т. е. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

a=

cos a₁=a_x/a, cos β₁=a_y/a, cos y₁=a_z/a

где a₁, β_1, y₁- углы, образуемые вектором ускорения с коорднатньми осями.

В случае же прямолинейного движения, которое задается одним уравнением ,x=f(t) будет υ_x= , a_x= =(16)

тогда равенства (16) определяют значения скорости и ускорения точки.

19. Между способами задания движения точки имеется связь. Так, если начало декартовой системы координат совпадает с центром, из которого проводится радиус-вектор точки при векторном способе изучения ее движения (см. рис. 1.2), то координаты точки равны проекциям на соответствующие оси радиус-вектора точки

 

r=r_xi+r_yj+r_zk=xi+yi+zk где i,j,k– единичные орты координатных осей.

Связь между координатным и естественным способами определяется выражением s= dt+C, где x, y,z - первые производные от координат точки по времени; С – постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

20. Скорость точки при векторном способе задания движения

Скорость точки – это величина, характеризующая как быстро и в каком направлении меняется положение точки в пространстве. Поскольку она определяет направление перемещения точки, скорость является величиной векторной. Пусть за время Δt радиус-вектор точки М изменился на величину Δr. Тогда средней скоростью называется векторная величина υ_ср=

 

 

Этот вектор направлен так же, как и Δr. Предельное значение υ_ср, при стремящемся к нулю Δt, определит мгновенное значение скорости в данный момент времени υ===r

При стремлении Δt к нулю хорда ММ₁, а значит и вектор υ_ср поворачивается вокруг точки М, приближаясь к касательной к траектории в точке М и в пределе, совпадая с ней. Поэтому вектор υ направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

 

В общем случае криволинейного движения вектор скорости изменяется по величине и направлению в функции времени. Следовательно, за время Δt вектор υ₁ можно представить в виде υ₁= υ+Δυ. Ускорение точки в криволинейном движении характеризует быстроту изменения вектора υ по величине и направлению. Тогда средняя величина ускорения определится υ_ср= , а мгновенное значение , или a= или a=

21. Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис. 134). Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоско­сти которых перпендикулярны оси враще­ния, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращаю­щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Аz, полуплос­кость I — неподвижную и полуплоскость I I врезанную в само тело и вращающую­ся вместе с ним (см. рис. 134). Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положитель­ного конца оси Аz), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измеряется угол φ всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т. е. φ=f(t).

Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Если за промежуток времени Δt =t₁-t тело совершает поворот на угол Δφ=φ₁-φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет ω_ср=Δφ/Δt . В пределе при Δt→0 найдем, что

ω=или ω=φ (37)

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Равенство (37) показывает также, что величина ω равна отношению элементарного угла поворота dφ к соответствующему промежутку времени dt. Знак ω определяет направление вращения тела.. Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени Δt =t₁-t угловая скорость тела изменяется на величину Δω=ω₁-ω,то числовое значение среднего углового ускорения телаза этот промежуток времени будет ε=Δω/Δt В пределе при Δt→0 найдем, учтя одновременно равенство (37), что ε= = или ε=ω=φ.

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/Т² (1/время²); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с² или, что то же, 1/с² (с^-2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает,- замедленным. Вращение будет ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным,- когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора е, направленного вдоль оси вращения. При этом ε=dω/dt

Направление е совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и противоположно ω при замедленном вращении.

22. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис. 134). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т. е.

υ==h или υ=hω (44)

Скорость υ в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела ω имеет в данный момент времени одно и то же значение, то из формулы (44) следует, что скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис. 136.

 

У с к о р е и и я точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами a_Ј=dυ/dt, a_n=υ²/ρ

В нашем случае р=h. Подставляя значение υ из равенства (44) в выражения a_Ј и a_n, получим: a_Ј=h , a_n= или окончательно: a_Ј=hε, a_n=hω² (45)

Касательная составляющая ускорения a_Ј направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная составляющая a_n всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 137).

Полное ускорение точки М будет a=или a=h (46)

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле tg μ= a_Ј/ a_n

Подставляя сюда значения a_Ј и a_n из равенств (45), получаем

μ=ε/ω² (47)

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то из формул (46) и (47) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис. 138.

 

Формулы (44) - (47) позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения. По этим же формулам можно, зная движение одной точки тела, найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом.

Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов υ и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор r точки М (рис. 139). Тогда h=r sinа и по формуле (44)

| υ | = | ω | h = | ω | r sin аили| υ | = | ω x r |.

Таким образом, модуль векторного произведения ω x r равен модулю скорости точки М. Направления векторов ω x r и υ тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно, υ= ω x r (48)

т. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Формулу (48) называют формулойЭйлера.

Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени, получим

=+ илиa=(ε x r)+(ω x υ) (49)

Формула (49) определяет вектор ускорения любой точки вращающегося тела.

Вектор ε x r направлен, как и вектор ω x r, т. е. по касательной к траектории точки М, a |ε x r|= εк sin a= εh. Вектор же ω x υ направлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М, а | ω x υ |= ωυ sin 90°=ω²h, так как υ= ωh. Учитывая все эти результаты, а также формулы (45), заключаем, что ε x r= a_Ј и ω x υ= a_n.

Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Охуz. Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами r_a и r_в (рис. 132); проведем вектор АВ, соединяющий эти точки. Тогда r_в= r_a+AB (35)

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость υ называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение а — ускорением поступательного движения тела. Векторы υ и а можно изображать приложенными к любой точке тела.

Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений теряют смысл.

Рис. 182

24. Движе­ние точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам от­счета, из которых одна считается основной или условно неподвиж­ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой называют со­ставным или сложным. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвиж­ной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения.

Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета Охуz, которая в свою очередь как-то движется отно­сительно другой системы отсчета О₁х₁у₁z₁ , которую называем основ­ной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана с определенным телом, на чертеже не по­казанным. Отсюда следует:

а) Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж­ной системе отсчета (к осям Охуz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Охуz называется относительной скоростью (υ_от), а ускорение - относительным ускорением (a_от). Из определения следует, что при вычислении υ_от и a_от можно движение осей Охуz во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).

б) Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе О₁х₁у₁z₁, является для точки М переносным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (υ_пер), а ускорение этой точки m — переносным ускорением точки М (a_пер). Таким образом υ_пер=υ_m,а_пер=а_m.

Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки m тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

в)Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета О₁х₁у₁z₁, называется абсолютным или сложным. Траектория СD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью (υ_аб) и ускорение – абсолют. ускорен.(a_аб).

25. Теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Рассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совершает за промежуток времени Δt =t₁-t вдоль траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором ММ' (рис.183,а).

Сама кривая AB, двигаясь вместе с подвижными осями Oxyz (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение А₁В₁. Одновременно та точка m кривой AB, с которой в момент времени t совпадает точка М, совершит переносное перемещение mm₁=Mm₁. В результате точка М придет в положение M₁ и совершит за время Δt абсолютное перемещение ММ₁. Из векторного треугольника Мm₁М₁ имеем: ММ₁=Mm₁+m₁M₁

Деля обе части этого равенства на Δt и переходя к пределу, получим

= Мm₁/Δt)+ (m₁M₁/Δt)

Но, по определению, (MM₁/Δt)=υ_аб, (Mm₁/Δt)= υ_пер

 

Что касается последнего слагаемого, то, так как при Δt→0 кривая A₁B₁ стремится к совпадению с кривой AB, в пределе

(m₁M₁/Δt)= (MM'/Δt)= υ_от

В результате находим, что υ_аб= υ_от+ υ_пер

Направлены векторы υ_аб,υ_от,υ_пср по касательным к соответствующим траекториям (рис. 183, б). Построенная на рис. 183, б фигура называется параллелограммом скоростей.

Если угол между векторами υ_от и υ_пср равен а, то по модулю υ_аб= (84')

26. Теорема о сложении ускорений: абсолютное ускорение при сложном движении точки равно геометрической сумме ее относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Предварительно получим общие выражения для относительного и переносного ускорений.

Относительное ускорение характеризует скорость изменения относительной скорости по отношению к подвижной системе координат. Следовательно, оно выражается локальной производной по времени от относительной скорости точки:

Переносное ускорение, в соответствии с его определением и смыслом, выразится так:

 

Абсолютное ускорение точки характеризует скорость изменения абсолютной скорости по отношению к неподвижным осям и поэтому будет равно:

Выполнив дифференцирование, с учетом полученных выше выражений для переносного и относительного ускорений можем записать:

Теореме сложения ускорений, которую можно записать в виде следующих двух векторных равенств:

Абсолютное ускорение при сложном движении точки равно геометрической сумме ее относительного, переносного и кориолисова ускорений. Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора переносной угловой скорости на вектор относительной линейной скорости точки.

27. Величина а_кор, характеризующая изменение относительной скорости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки: а_кор= +

а_аб=а_от+а_пер+а_кор .Эта формула выражает следующую теорему Кориолиса о сложении ускорений: при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и поворотного, или кориолисова.

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы отсчета) на относительную скорость точки. а_кор=2(ωxυ_от).

Случай поступательного переносного движения. В этом случае ω=0 и, следовательно,а_кор=0. В результате υ_аб= υ_от+ υ_пер т. е. при поступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений. Результат здесь аналогичен тому, который дает теорема о сложении скоростей.

Для определения модуля и направления кориолисова ускорения можно использовать правило Жуковского: «Для построения вектора кориолисова ускорения а_кор надо спроецировать вектор радиальной скорости υ_рад на плоскость, перпендикулярную вектору ω_пер переносное, умножить полученную проекцию радиальной скорости υ_рад на 2ω_пер и повернуть полученный вектор на 90 градусов вокруг вектора ω_пер в сторону переносного вращения.

28. Плоскопараллельным(или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 141.

 

 

Рис. 141 Рис. 142

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Оху, парал­лельной плоскости П (рис. 141). При плоскопараллельном движе­нии все точки тела, лежащие на прямой ММ', перпендикулярной сечению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.

Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела дос­таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т. е. в плоскости Оху.Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 142). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная коор­динаты х_а, у_а точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

При движении фигуры величины x_a, у_a и φбудут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости x_a=f₁(t), y_a=f₂(t), φ=f₃(t) (50)

Уравнения (50), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела

Первые два из уравнений (50) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ=const; это будет поступа­тельное движение, при котором все точ­ки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движе­ние, которое фигура совершала бы при x_a=const и y_a=const, т.е е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фи­гуры вокруг полюса А.В общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из по­ступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Основными кинематическими характеристиками рассматривае­мого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса (υ_пост=υ_А,а_пост=а_А), а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε враща­тельного движения вокруг полюса. Значения этих характеристик в любой момент времени t можно найти, воспользовавшись уравне­ниями (50).

Аналитическискорость υ определяют по ее проекциям на какие-нибудь координатные оси. Найдем проекции вектора υ на оси Охуz, жестко связанные с телом и движущиеся с ним ;эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, z точки М будут величинами постоянными. Так как r_x=x, r_y=y, r_z=z, то по формуле векторной алгебры

υ=ω x r=

Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, что υ= υ_xi+ υ_yj+ υ_zk и что, следовательно, коэффициенты при i, j, k в этом разложении должны ровняться υ_x, υ_y, υ_z соответственно, получим

 

 

Движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью υ_А полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

Положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором r=r_A+r' (рис. 146), где r_A — радиус-вектор полюса А, r'=АМ — вектор, определяющий положение точки М относительно осей Ах'у', перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А).

Тогда υ_M= = = = (56)

т. е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1)Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей υ_а и υ_В каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).

 

2)Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек А и В перпендикуляры к υ_а и υ_В , построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению υ_а определим направление поворота фигуры. После этого, зная υ_а, найдем по формуле (56) скорость υ_М любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор υ_М перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3)Угловая скорость ω плоской фигуры равна в каждый данный момент, времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:ω=

31. Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.

а)Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­щаяся неподвижной поверхности (рис. 152), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (υ_р=0), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

 

 

б)Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна υ_А (рис. 153, а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны υ_А. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что υ_Аcos a= υ_Bcos β, т. е. υ_B=υ_A; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т. е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей(такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступа­тельным). Угловая скорость ω тела в этот момент времени равна нулю.

в)Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна υ_А, то мгновен­ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 153, б. Справедливость построений следует из пропорции (56). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения цент­ра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей υ_А и υ_B.

г)Если известны вектор скорости υ_B какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость ω, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к υ_B , можно найти BP=υ_B/ω.