Необходимое условие локального экстремума

Если локальный экстремум дифференцируемой функции достигается в некоторой точке х*, то в этой точке градиент функции равен нулю

Обратное утверждение не всегда верно: могут существовать точки, в которых градиент равен нулю, однако локального экстремума там нет. Поэтому равенство градиента функции нулю, т.е. равенство всех ее частных производных нулю в некоторой точке, является только необходимым, но не достаточным условием локального экстремума функции в этой точке. Точки x, в которых выполнено условие , называются стационарными точками функции f.

Критическими точками называются точки, в которых может быть экстремум:

· где все частные производные обращаются в ноль (стационарные точки) или

· где какая-нибудь из частных производных не существует.

Мы предполагаем, что все рассматриваемые функции дифференцируемы необходимое нам количество раз, поэтому далее речь пойдет о критических стационарных точках.

Вспомним достаточные признаки экстремума для функции одной переменной. Там все зависело от знака второй производной функции в критической точке х*. Если

, то локальный минимум, а если , то максимум.

Можно сформулировать достаточные признаки экстремума и для ФНП, использующие частные производные второго порядка.

Составим из частных производных второго порядка ФНП квадратную матрицу порядка n:

Это матрица Гессе. Она симметрична в силу равенства смешанных производных.

 

***** Минор матрицы, получающийся вычеркиванием последних n-k строк и n-k столбцов, называется k–ым угловым минором и обозначается Δ_к

Критерий Сильвестра. Симметричная матрица положительно (неотрицательно) определена, если все угловые миноры положительны (неотрицательны ).

Матрица отрицательно (неположительно) определена, если знаки угловых миноров матрицы чередуются, начиная с минуса, т.е. ( ).

Все остальные матрицы не являются знакоопределенными.

ПРИМЕР 6. Исследовать знакоопределенность следующих матриц:

► a) Последовательно вычислим угловые миноры матрицы:

Поскольку все угловые миноры положительны, рассматриваемая матрица является положительно определенной.

b) В данном случае угловые миноры, соответственно, равны –4, 2, –2. Знаки миноров чередуются, начиная с минуса, что означает отрицательную определенность рассматриваемой матрицы. ◄