Вынужденные колебания

Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения), изменяющегося со временем по гармоническому закону. В этом случае колебания описываются дифференциальным уравнением

, (12.8)

где - вынуждающая сила, ω – частота силы.

Известно, что решением этого уравнения (12.8) является следующее выражение:

. (12.9)

Первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы. Амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается. Для установившихся колебаний первое слагаемое уравнения (12.9) равно нулю и

 

. (12.10)

Амплитуда вынужденных установившихся колебаний

(12.11)

 

Рис. 12.2.
зависит как от частоты ωвынуждающей силы, так и от параметров системы (m, k, r).

Графики зависимостей А от ω для различных значений коэффициента затухания β приведены на рис. 12.2.

Явление, при котором наблюдается резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных свободных незатухающих колебаний системы, называют резонансом. Частоты, при которых амплитуда вынужденных установившихся колебаний принимает максимальное значение, называют резонансными ωр.

Найдем ωр при которой амплитуда имеет максимальное значение. Резонанс наблюдается в том случае, когда выражение под знаком квадратного корня в формуле (12.11) будет минимальным. Поэтому

. (12.12)