Применение в технике уравнения Бернулли
Уравнение Бернулли для реальной жидкости и газов
При движении реальной жидкости вследствие ее вязкости и трения происходят потери энергии. Поэтому при составлении уравнения Бернулли для двух выбранных сечений потока реальной жидкости необходимо учитывать неравномерность распределения скоростей в потоке (с помощью коэффициента Кориолиса α и энергию потока Е1-2, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления в канале.
Для установившегося, плавно изменяющегося[2] движения коэффициент неравномерности скоростей α = 1,05 ... 1,1. Если скорости в пределах живого сечения одинаковые и равны средней, то α = 1.
По аналогии с (3.32) запишем уравнение Бернулли для потока реальной жидкости:
(3.34)
Оно является уравнением баланса удельных потоков реальной жидкости. Разделив левую и правую части (3.34) на g, получим иной вид уравнения Бернулли
(3.35)
где h1-2 — потери напора в сопротивлениях, как в местных, так и по длине (h1-2 = E1-2/g).
Из (3.35) видно, что гидравлический напор струйки реальной жидкости Hгд [см. формулу (3.31)] изменяется по ее длине, т. е. Hгд ¹ const. Изменение полной удельной энергии потока реальной жидкости при перемещении от одного сечения к другому равно удельной энергии, затраченной на преодоление сопротивлений между этими сечениями. Потери напора на единицу длины потока называются гидравлическим уклоном
, (3.36)
а потери пьезометрической высоты — пьезометрическим уклоном
, (3.37)
где l — длина потока.
Для газов уравнение Бернулли (3.35) и его различные виды применимы, если скорость движения газа значительно меньше скорости звука (менее 1200 км/ч).
Уравнение Бернулли широко применяется в технике, например для расчетов водопроводов, нефтепроводов, газопроводов, насосов и т. п. На его основании сконструирован ряд приборов и устройств, таких как расходомер Вентури, карбюратор, водоструйный насос (эжектор), трубка Пито и т. д. Рассмотрим некоторые из них.
Расходомер Вентури (рис. 3.8) представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока — дросселирование. Расходомер состоит из двух участков — плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в сужающемся месте возрастает, а давление падает. Возникает разность (перепад) давлений, которую можно измерить двумя пьезометрами или дифференциальным U-образным манометром.
Пусть в сечении 1 — 1 потока непосредственно перед сужением скорость равна v1, давление p1 площадь сечения ω1, а в сечении 2 — 2 (т. е. в самом узком месте потока) соответственно v1, p1 и ω2 . ΔН — разность показаний пьезометров, присоединенных к указанным сечениям.
| Рис. 3.8. Схема расходомера Вентури |
Запишем для сечений 1 — 1 и 2 — 2 потока уравнение Бернулли и уравнение расхода (считая распределение скоростей равномерным):
; (3.38)
, (3.39)
где hм — потеря напора между сечениями 1 — 1 и 2 — 2.
Учитывая, что
(3.40)
где ζ — коэффициент сопротивления,
, (3.41)
найдем из системы уравнений (3.38) одну из скоростей, например,
(3.42)
Отсюда объемный расход
или (3.43)
, (3.44)
где С — величина, постоянная для данного расходомера.
Зная С и ΔН, можно найти расход в трубопроводе для любого момента времени по формуле (3.44). Константу С определяют теоретически или экспериментально путем градуирования расходомера.
Вместо пары пьезометров для измерения перепада давления в расходомере можно применить дифференциальный ртутный манометр (см. рис. 3.8). Поскольку над ртутью в трубках находится та же жидкость плотностью ρ, что и в трубопроводе, можно применить формулу
(3.45)
Карбюраторпоршневых двигателей внутреннего сгорания (рис. 3.9) служит для подсоса бензина и смешивания его с потоком воздуха. Поток воздуха, засасываемого в двигатель, сужается в том месте (сечение 2—2), где установлен распылитель бензина (обрез трубки диаметром d). Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по закону Бернулли падает. Благодаря пониженному давлению бензин вытекает в поток воздуха. Найдем соотношение между массовыми расходами бензина Qб и воздуха Qв при заданных диаметрах D и d и коэффициентах сопротивления воздушного канала (до сечения 2—2) ζв и жиклера ζж (сопротивлением бензотрубки пренебрегаем). Записав уравнение Бернулли для потока воздуха (сечения О — О и 2 — 2), а затем для потока бензина (сечения 1 — 1 и 2 — 2), получим (при z1 = z2 и α = 1):
| Рис. 3.9. Схема карбюратора |
(3.46)
(3.47)
где ра — атмосферное давление; р2 — давление воздуха и бензина в сечении 2 — 2; v2в, v2б — соответственно скорость потоков воздуха и бензина в сечении 2 — 2; ρв, ρб — плотности воздуха и бензина.
Отсюда
( )(1+ )= ( )(1+ ) (3.48)
Учитывая, что массовые расходы воздуха и бензина соответственно составят
и (3.49)
, (3.50)
получаем
. (3.51)
Как следует из выражения (3.51), отношение массового расхода бензина к массовому расходу воздуха есть величина постоянная, зависящая от конструктивных параметров карбюратора.
Струйный насос (эжектор) (рис. 3.10) состоит из плавно сходящегося насадка 2, осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки 4, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере 3. Вследствие увеличения скорости потока давление в струе на выходе из насадка 2 и во всей камере 3 значительно понижается.
| Рис. 3.10. Схема струйного насоса (эжектора): 1 — труба; 2 — насадок; 3 — камера; 4 — расширяющаяся трубка |
В расширяющейся трубке 4 скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в атмосферу). Следовательно, в камере 3 давление обычно меньше атмосферного, т.е. в ней имеется разрежение (вакуум). Под действием разрежения жидкость из нижнего резервуара всасывается по трубе 1 в камеру 3, где происходит слияние и перемешивание двух потоков.
Трубка полного напора, или трубка Пито (рис. 3.11), служит для измерения скорости потока, например, в трубе. Если установить в одном сечении потока трубку, изогнутую под углом 90°, отверстием навстречу потоку и пьезометр, то жидкость в трубке поднимется над уровнем жидкости в пьезометре на высоту, равную скоростному напору. Объясняется это тем, что скорость частиц жидкости, попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, следовательно, давление увеличивается на величину скоростного напора. Измерив разность высот подъема жидкости в трубке Пито и пьезометре, легко определить скорость жидкости в данной точке.
Трубка Пито — Прандтляприменяется для измерения малых (по сравнению со скоростью звука) скоростей полета самолета. Схема прибора показана рис. 3.12
Запишем уравнение Бернулли для струйки, которая набегает со скоростью v0 на трубку в направлении ее оси, а затем растекается по ее поверхности. Для сечений 0—0 (не возмущенный трубкой поток) и 1—1 (где v1 = 0) получаем
| Рис. 3.11. Схема трубки полного напора | Рис. 3.12. Схема трубки Пито —Прандтля |
(3.52)
где ρ — плотность воздуха.
Давление р2, воспринимаемое боковыми отверстиями трубки, можно считать примерно равным давлению невозмущенного потока, т.е. р2 = p0). С учетом этого из формулы (3.52) получаем
(3.49
Скорость набегающего потока v0 и есть искомая скорость самолета.