Уравнение Бернулли для идеальной жидкости
Уравнение Бернулли является основным уравнением гидродинамики, устанавливающим связь между средней скоростью и гидродинамическим давлением в установившемся потоке.
Выделим массу жидкости Δm, протекающей через сечение трубки тока Δω1, расположенное на высоте z2 а затем через сечение Δω2, расположенное на высоте z2 (рис. 3.6). Полную энергию массы жидкости Δm, протекающей через сечение Δω1, обозначим Е1, а через сечение Δω2 — Е2. Согласно закону сохранения полной механической энергии разность Е2 – Е1 равна работе внешних сил А, перемещающих массу Δm от сечения Δω1 к сечению Δω2:
. (3.22)
На жидкость действуют сила тяжести и силы давления, поэтому
, (3.23)
где AG — работа силы тяжести, АР — работа сил давления.
Работа силы тяжести равна произведению веса жидкости и величины смещения центра тяжести:
, (3.24)
где — объемный расход жидкости.
Работа сил давления при перемещении жидкости за время Δt в сечениях Δω1 и Δω2:
(3.25)
где p1, р2 — давление жидкости соответственно в сечениях Δω1 и Δω2.
Согласно уравнению неразрывности
(3.26)
| Рис. 3.6. Схема для вывода уравнения Бернулли |
Полные механические энергии E1, и Е2 складываются из кинетических и потенциальных энергий массы жидкости Δm :
; (3.27)
+ (3.28)
Используя формулы (3.24) – (3.28) и учитывая, что ρ = Δm/ΔQ, уравнение (3.22) можно привести к следующему виду:
(3.29)
Уравнение (3.29) носит название уравнения Бернулли[1]. Все члены уравнения Бернулли имеют размерность давления и называются так:
· — динамическое давление;
· р — гидростатическое давление;
· ρgz — весовое давление.
Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью жидкости, гидростатическим давлением р в данной точке, объемным весом жидкости ρg и высотой положения частиц жидкости z над плоскостью сравнения. В виде (3.29) оно выражает постоянство полной механической энергии движущейся идеальной жидкости вдоль трубки тока или вдоль элементарной струйки.
3.4. Геометрический и энергетический смысл
уравнения Бернулли
Разделив в уравнении Бернулли (3.29) все члены на ρg и сделав перестановку членов, приведем его к виду
(3.30)
В этом уравнении все слагаемые имеют линейные размеры и соответственно выражают:
z — геометрическую высоту, или геометрический напор;
p/(ρg) — пьезометрическую высоту, или пьезометрический напор;
— скоростную высоту, или скоростной (динамический) напор.
Сумму всех трех слагаемых
(3.31)
называют полным, или гидродинамическим, напором.
Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма трех высот (напоров) — геометрической, пьезометрической и скоростной — вдоль потока остается постоянной. На рис. 3.7 приводится баланс напоров при движении жидкости в напорном трубопроводе.
| Рис. 3.7. Баланс напоров при движении идеальной жидкости в напорном трубопроводе |
Уравнение Бернулли имеет и энергетический смысл. Разделив каждое слагаемое в уравнении (3.29) на ρ и произведя соответствующую перегруппировку членов, получим
(3.32)
Все члены уравнения (3.32) имеют размерность удельной энергии, Дж/кг, т. е. энергии, отнесенной к 1 кг массы жидкости. Слагаемое gz представляет собой удельную энергию положения рассматриваемого сечения потока жидкости в поле земного тяготения; p/ρ — удельную потенциальную энергию давления; v2/2 — удельную кинетическую энергию.
Из сравнения (3.31) и (3.32) можно сделать вывод, что полный гидродинамический напор выражает собой отнесенную к единице веса полную удельную энергию жидкости в поперечном сечении элементарной струйки
(3.33)
Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении полная удельная энергия частиц идеальной жидкости, составляющих элементарную струйку, сохраняется постоянной по всей длине струйки. Уравнение Бернулли является выражением основного закона физики — закона сохранения механической энергии — применительно к жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения, энергия давления и кинетическая энергия. В процессе движения жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, но полная удельная энергия остается постоянной.