ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Контрольные вопросы к главе 2

1. Перечислите свойства, которыми обладает гидростатическое давление.

2. Какое состояние жидкости описывают уравнения Эйлера?

3. Какое свойство гидростатического давления отражают уравнения Эйлера?

4. Какие параметры жидкости связывает основное дифференциальное уравнение гидростатики?

5. Какие поверхности называют поверхностями уровня?

6. Дайте определение поверхности уровня в гидравлике.

7. При каких условиях из основного дифференциального уравнения гидростатики выводится основное уравнение гидростатики?

8. По какой формуле вычисляют гидростатическое давление в точке?

9. Сформулируйте закон Паскаля и поясните его физический смысл.

10. Как определить абсолютное давление?

11. По какому закону изменяется избыточное давление?

12. Какое давление называют вакуумметрическим?

13. По какой формуле определяют вакуумметрическую высоту?

14. Как называются приборы для измерения давления?

15. Перечислите основные схемы жидкостных манометров.

16. Для чего используются микроманометры?

17. Каким манометром измеряют абсолютное давление?

18. Объясните принцип действия мембранного манометра.

19. По какой формуле вычисляют гидростатическое давление жидкости, действующее на площадку?

20. От каких геометрических параметров сосуда зависит давление жидкости на его дно?

21. Напишите формулу для определения центра давления жидкости на плоскую наклонную стенку. Объясните физический и геометрический смысл входящих в нее выражений.

22. Сформулируйте закон Архимеда. Напишите формулу для определения подъемной силы.

23. Что такое остойчивость плавающего тела?

24. Какой закон гидростатики лежит в основе работы гидростатических машин?

25. Объясните принцип работы гидравлического пресса.

26. Поясните схему работы мультипликатора.

27. Объясните принцип работы гидравлического аккумулятора.

28. При выполнении каких работ применяют домкраты?

3.1. Основные понятия гидродинамики жидкости.
Виды движения жидкости. Уравнение неразрывности

Гидродинамика (раздел гидравлики) рассматривает законы движения жидкости.

Параметры, характеризующие движение жидкости, — скорость и давление — изменяются в потоке, в пространстве и во времени. Задача гидродинамики заключается в изучении изменения этих параметров при движении жидкости.

В жидкости частицы не связаны жестко между собой, они движутся друг относительно друга. В гидродинамике различают два вида движения (течения) жидкости: установившееся и неустановившееся.

Установившееся (стационарное) течение жидкости — это такое течение, при котором давление и скорость в каждой точке остаются постоянными во времени, т. е. являются функциями координат и не зависят от времени: р = f(х, у, z); v = f(x, у, z).

Давление и скорость могут изменяться от точки к точке, но в каждой точке они постоянны. В частном случае установившееся течение может быть равномерным, когда скорость каждой частицы не изменяется с изменением координат и поле скоростей остается неизменным вдоль потока.

Неустановившимся (нестационарным) течением жидкости называется течение, при котором все или отдельные его характеристики (давление или скорость) изменяются во времени в рассматриваемых точках пространства: р = f(х, у, z, t); v = f(х, у, z, t).

Примерами установившегося течения могут служить истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянное давление или уровень, движение жидкости в трубопроводе, в котором создается постоянное давление. Примеры неустановившегося течения: быстрое опорожнение сосуда через отверстие в дне; движение во всасывающей или напорной трубе поршневого насоса.

В задачу кинематики жидкости входит определение скорости в любой точке жидкости, т. е. нахождение поля скоростей. При решении этой задачи мы будем рассматривать сначала жидкость как идеальную (абсолютно невязкую и абсолютно несжимаемую), а затем перейдем к изучению реальных потоков. В идеальной жидкости, как и в неподвижных реальных потоках, возможен только один вид напряжений — нормальное напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление, или просто давление, которое направлено внутрь жидкости по нормали к поверхности. Объектом нашего рассмотрения будут установившиеся течения и только в отдельных частных случаях — неустановившиеся.

Линия, по которой движется частица, называется ее траекторией. Траектории частиц жидкости при установившемся течении являются неизменными во времени. В выбранной системе отсчета каждой частице соответствуют направление и величина скорости, т.е. свой вектор скорости. Таким образом, вся жидкость представляет собой поле вектора скорости. В этом поле можно провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадут с направлением скорости частицы в данной точке. Такие линии называются линиями тока (рис. 3.1).

Линия тока представляет собой кривую, в каждой точке которой вектор скорости в данный момент времени направлен по касательной. При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц и не изменяют своей формы с течением времени. Принято проводить линии тока так, чтобы их густота была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее.

Если взять бесконечно малый замкнутый контур и через его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, ограниченная линиями тока, которая называется трубкой тока (рис. 3.2).

 

Рис. 3.1. Линии тока	Рис. 3.2. Трубка тока

 

Часть потока, заключенная внутри трубки тока, называется элементарной струйкой. При стремлении поперечных размеров струйки к нулю она стягивается в линию тока. Считают, что трубка тока — это часть жидкости, ограниченная линиями тока. В любой точке трубки тока, т.е. боковой поверхности струйки, вектора скорости направлены по касательной, а нормальные составляющие скорости к этой поверхности отсутствуют, т.е. при установившемся течении ни одна частица жидкости не может проникнуть внутрь струйки или покинуть ее. Трубка тока является непроницаемой стенкой, а элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток.

Поток жидкости представляет собой совокупность элементарных струек, которые скользят друг по другу, не перемешиваясь.

Живым сечением потока, или просто сечением потока, называется площадь поперечного сечения потока, проведенная нормально к линиям потока.

Равномерным называется такое установившееся движение жидкости, при котором площади живых сечений и средняя скорость потока не меняются по его длине.

Неравномерным называется такое установившееся движение жидкости, при котором площади живых сечений и средняя скорость потока изменяются по его длине.

Различают напорные и безнапорные течения. Напорными называются течения в закрытых руслах без свободной поверхности, безнапорными — течения со свободной поверхностью.

При напорных течениях давление вдоль потока обычно переменное, при безнапорных — постоянное (на свободной поверхности) и чаще всего атмосферное. Примером напорного течения является течение жидкости в трубопроводах, гидромашинах, безнапорного — течение в реках, открытых каналах, лотках.

Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Это количество можно измерять в единицах объема, веса и массы, поэтому различают расходы: объемный Q, м³/с; весовой Q_G, Н/с; массовый Q_m, кг/с.

Для элементарной струйки можно считать скорость v одинаковой по всему сечению, тогда для нее

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

где Δω — площадь сечения струйки.

Для потока конечных размеров в общем случае скорость имеет различные значения в разных точках сечения, поэтому расход определяют как сумму элементарных расходов струек.

Объемный расход жидкости рассчитывается по формуле

, м³/с, (3.4)

где W — объем жидкости, м³; t — время, с.

Весовой расход жидкости

, кгс/с , (3.5)

где m — масса жидкости, кг; g — ускорение свободного падения, равное 9,81 м/с².

Массовый расход жидкости

, кг/с . (3.6)

Между весовым и объемным расходами жидкости существует следующая зависимость

(3.7)

Средняя скорость потока v_cp, м/с, определяется как объемный расход жидкости через единицу живого сечения потока:

. (3.8)

Возьмем трубку тока и в ней два произвольных сечения Δω₁, Δω₂, нормальных трубке тока (см. рис. 3.2). За единицу времени через первое сечение пройдет объем жидкости v₁Δω₁ , а через второе — v₂Δω₂. Будем считать объемы единичными, тогда

. (3.9)

Это равенство справедливо для любых сечений трубки тока, следовательно:

(3.10)

Таким образом, произведение площади поперечного сечения трубки тока и скорости течения несжимаемой жидкости есть величина постоянная для данной трубки тока.

Так формулируется теорема о неразрывности струи, а уравнение ( 3.10) называется уравнением постоянства объемного расхода элементарной струйки. Для потока конечных размеров

. (3.11)

Из уравнения (3.11) следует

(3.12)

т. е. средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площади живых сечений. Все частицы, проходящие в некотором сечении трубки тока, при движении продолжают двигаться внутри трубки тока и не выходят из нее. Из внешнего окружения частицы в трубку тока не попадают.

Для потока уравнение неразрывности показывает, что при установившемся движении несжимаемой жидкости произведение площади живого сечения и средней скорости потока является постоянной величиной. Для характеристики размеров, формы и условий движений потока используются следующие понятия.

Смоченным периметром П_с называется часть периметра живого сечения, на котором жидкость соприкасается с твердыми стенками. Смоченный периметр меньше геометрического периметра П_г или равен ему.

Смоченный периметр совпадает с геометрическим периметром живого сечения закрытых сосудов, заполненных жидкостью (рис. 3.3, а). Если сосуд открытый, со свободной поверхностью жидкости (рис. 3.3, б), то смоченный периметр меньше геометрического на длину линии открытой поверхности жидкости. Как следует из рис. 3.3,

;

.

 

Рис. 3.3. К определению смоченного периметра: а — закрытый сосуд; б — сосуд со свободной поверхностью

 

Гидравлическим радиусом R, называется отношение площади живого сечения к смоченному периметру. Гидравлический радиус R существует для любого потока, ограниченного стенками, а геометрический радиус r — только для потока, протекающего по круглой трубе. Гидравлический радиус меньше геометрического в 2 раза:

, (3.13)

где d — диаметр круглой трубы.

В гидравлических расчетах пользуются также понятием эк­вивалентного диаметра

(3.14)

3.2. Ламинарный и турбулентный режимы движения.
Опыты Рейнольдса

Рассматривая жидкость как идеальную, мы пренебрегаем ее вязкостью. Это приводит к тому, что сопротивление тела, равномерно движущегося в неограниченном пространстве, оказывается равным нулю, а это противоречит данным опытов с реальными жидкостями. В реальных жидкостях со стороны слоя, движущегося медленно, действуют силы, замедляющие движение частиц слоя, движущегося с большей скоростью и, наоборот, частицы слоя с большей скоростью ускоряют более медленный слой.

При малых скоростях движения жидкости один слой скользит по другому. Слой у стенки прилипает к ней. Силы вязкости пропорциональны изменению скорости потока в нормальном направлении к скорости. Наиболее сильно они будут сказываться там, где изменения скорости велики. Расположенная около поверхности тела (трубы, канала) область течения вязкой жидкости, в которой изменяется скорость, называется пограничным слоем.

Вне пограничного слоя влияние вязкости проявляется слабо и поведение вязкой жидкости близко к поведению идеальной. В вязкой жидкости складываются два движения: хаотичное движение молекул и направленное движение всего потока. С учетом этого можно уточнить понятие пограничного слоя. Пограничный слой представляет собой область течения вязкой жидкости, в которой силы трения и инерции имеют одинаковый порядок.

Многочисленными наблюдениями и опытами установлено, что существует два основных режима движения жидкостей: ламинарный и турбулентный. При ламинарном режиме вся масса жидкости движется параллельными скользящими друг по другу несмешивающимися струйками или слоями. При турбулентном режиме отдельные частицы жидкости движутся по произвольным сложным траекториям, струйки перемешиваются, и поток жидкости представляет собой беспорядочно движущуюся массу.

Впервые предположение о существовании двух режимов движения жидкости высказал Д.И. Менделеев в 1880 г. Позднее оно было подтверждено опытным путем О. Рейнольдсом в 1883 г. Он пропускал воду через стеклянные трубки разного диаметра, регулируя скорость движения воды в них кранами 1 и 5 (рис. 3.4).

 

Рис. 3.4. Экспериментальная установка О. Рейнольдса: 1,5— краны; 2 — сосуд с окрашенной жидкостью; 3 — трубка с заостренным концом; 4 — трубка; 6 — сосуд; 7 — сливная трубка

 

По тонкой трубке 3 с заостренным концом к входу в стеклянную трубку 4 подводилась окрашенная жидкость из сосуда 2. Средняя скорость в трубке 4 площадью сечения ω определялась по объему воды W, поступившей в сосуд 6 за время t: .

Опыты, проводившиеся при постоянном напоре (для его поддержания была использована сливная трубка 7), показали, что при малых скоростях движения воды в трубке 4 краска движется в ней в виде тонкой струйки параллельно стенке, не перемешиваясь с водой. После достижения определенной для данных условий опыта средней скорости движение частиц жидкости становится беспорядочным, струйка краски начинает размываться, отчего вся вода в трубке окрашивается.

Размывание струйки происходит вследствие образования вихрей и беспорядочного движения частиц. Однако у стенки, как и при ламинарном режиме, скорость остается равной нулю (рис. 3.5).

 

Рис. 3.5. Эпюры скоростей в трубе: 1 — при ламинарном течении; 2 — при турбулентном течении

 

При ламинарном течении жидкости в трубе эпюра скоростей имеет вид параболы; скорость в произвольной точке потока

(3.15)

где — перепад давления по длине трубы; μ — динамическая вязкость; l — длина трубы; r₀ — радиус трубы; r — радиус потока в точке определения скорости.

Максимальная скорость в центре поперечного сечения на оси трубы

. (3.16)

Расход жидкости через сечение трубы

. (3.17)

Средняя скорость

(3.18)

Сравнение формул (3.16) и (3.17) показывает, что при ламинарном течении средняя скорость в 2 раза меньше максимальной: v_cp = 0,5v_max.

При турбулентном течении жидкости в трубе можно говорить лишь о ее средней скорости. Характер течения зависит от средней скорости жидкости v_ср, диаметра трубопровода d, динамической вязкости μ и плотности жидкости ρ. Все эти факторы учитываются безразмерным комплексом, получившим название «число Рейнольдса»

(3.19)

где ν — кинематическая вязкость.

 

Физически число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции и сил вязкости в потоке жидкости. Таким образом, режим движения жидкости для каждого конкретного случая зависит от числа Рейнольдса. Многочисленными опытами установлено предельное значение число Рейнольдса, при превышении которого поток из ламинарного переходит в турбулентный. Это значение называется критическим числом Рейнольдса Re_Kp = 2320.

Средняя скорость, соответствующая ему, называется критической скоростью

(3.20)

Для потоков с сечением другой формы в качестве характеристики используют гидравлический радиус R_г или эквивалентный диаметр d_экв:

(3.21)

Число Рейнольдса является критерием, определяющим режим течения жидкости в трубах. При Re < 2320 движение жидкости происходит при ламинарном режиме, при Re > 2320 — при турбулентном. При переходе от ламинарного движения к турбулентному и наоборот наблюдается промежуточный (переходный) режим (Re = 2320...4000), при котором струйки имеют волнистый профиль, но не перемешиваются между собой. Вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается при Re = 4000.