Давление жидкости на плоскую стенку. Центр давления
Давление жидкости на плоскую стенку
Предположим, что плоская стенка, ограждающая некоторую массу неподвижной жидкости, наклонена к горизонту под углом α. Определим силу Р, с которой жидкость действует на выбранную в пределах этой стенки площадь ω (рис. 2.14).
Рис. 2.11. К определению силы давления жидкости на плоскую стенку
На каждую точку этой площади действует гидростатическое давление
, (2.33)
где dP — элементарная сила; d— элементарная площадка.
Следовательно, сила, с которой жидкость действует на элементарную площадку dω, будет равна dP = pdω. Эта сила направлена по нормали к плоскости стенки. Аналогично определяется сила давления жидкости на любую другую элементарную площадку dω. Поэтому искомую силу Р, с которой покоящаяся жидкость действует на площадь ω, можно найти как равнодействующую системы параллельных сил dP, равную их алгебраической сумме:
. (2.34)
В любой точке гидростатическое давление р = р0 + γh, поэтому
(2.35)
Сориентируем соответствующим образом координатные оси выбранной площади. Направим ось z вдоль стенки вниз от точки пересечения стенки с уровнем свободной поверхности (точка 0), а ось х — по нормали к ней. Согласно рис. 2.11 глубина h = z'sinα.
(2.36)
В интеграле . (2.38)
Первое слагаемое представляет собой силу атмосферного давления на свободную поверхность, передаваемого жидкостью по закону Паскаля, а второе — силу давления, оказываемого на стенку уже самой жидкостью (можно сказать — избыточного давления).
Приведем последнюю формулу в более удобный для практических расчетов вид.Учтем, что произведение (2.42)
Момент элементарной силы dP
. (2.43)
С учетом (2.43) уравнение (2.41) принимает вид
,а (2.46)
Числитель правой части этого уравнения представляет собой момент инерции площади ω относительно координатной оси Ох':
(2.48)
где J0 — момент инерции площади ω относительно оси, проходящей через центр тяжести площади ω и параллельной оси Ox'; z'c — расстояние от центра тяжести площади ω до той же оси Ох'.
Сделав соответствующие подстановки в уравнение (2.46), получим
, так как и , a (2.59)
, то (2.60)
. (2.61)
Но объем WACBDA есть не что иное, как объем погруженного тела W, поэтому
, (2.62)
где γ — удельный вес жидкости, в которую погружено тело.
Полученное выражение представляет собой закон Архимеда: сила, с которой жидкость действует на погруженное в нее тело, равна весу жидкости в объеме погруженного тела. Эта сила называется архимедовой подъемной силой, или силой вытеснения.
Если тело погружено в жидкость частично, то сила вытеснения Pвыт согласно (2.62) определяется следующим образом:
, (2.63)
где — объем части тела, погруженной в жидкость, ρ — плотность жидкости.
Заметим, что знак минус в формуле (2.63) соответствует выбранной системе координат (см. рис. 2.14). Для однородного тела, плавающего на поверхности жидкости, справедливо соотношение
(2.64)
где W — объем плавающего тела; ρт — плотность тела.
В плавающем на поверхности жидкости теле кроме центра тяжести С различают еще два центра: центр водоизмещения В — центр тяжести объема погруженной части тела; метацентр М — точка пересечения оси плавания тела с линией действия подъемной силы (при наличии крена).
Остойчивостью плавающего тела называется его способность восстанавливать положение равновесия после прекращения действия внешней силы, вызвавшей крен. Для остойчивости тела необходимо соблюдение условия hм > 0, где hм — метацентрическая высота — расстояние между метацентром и центром тяжести:
(2.65)
где J — момент инерции плоскости плавания относительно продольной оси; а — расстояние от центра тяжести до центра водоизмещения.