Равновесие жидкости в поле силы тяжести. Поверхность уровня

Основное дифференциальное уравнение гидростатики

Перепишем уравнения Эйлера в несколько другом порядке:

. (2.10)

Умножив каждое из этих уравнений соответственно на dx, dy и dz и произведя сложение правых и левых частей уравнений, получим

. (2.11)

Так как гидростатическое давление р зависит только от трех независимых переменных координат х, у и z, левая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал функции .

. (2.12)

Сделав подстановку, окончательно получим

(2.13)

Уравнение (2.13) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики. Оно составляет основу решения многих задач гидростатики.

Поверхностью уровня называют такую поверхность, любая точка которой имеет одно и то же значение рассматриваемой функции, например поверхность равной температуры (изотермическая поверхность), поверхность равного потенциала и т.д.

Для решения задач гидравлики большое значение имеет поверхность равного давления, которую в дальнейшем будем называть поверхностью уровня. Поскольку во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т.е. р = const, то dp = 0 и из основного дифференциального уравнения гидростатики (2.13) имеем

, (2.14)

а так как плотность ,

(2.15)

Уравнение (2.15) называется уравнением поверхности уровня.

Рассмотрим равновесие жидкости в гравитационном поле Земли в пределах некоторой ограниченной области. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось Oz вертикально вверх; при этом вектор ускорения свободного падения g будет направлен параллельно оси Oz вниз. Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости единичные массовые силы X, У и Z, входящие в общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (2.15), будут следующими:

, (2.16)

где g_x g_y и g_z — проекции вектора ускорения g на соответствующие координатные оси.

Подставив эти значения в уравнение (2.15), получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

. (2.17)

Проинтегрировав это уравнение, получим

, (2.18)

где С — произвольная постоянная (С = const).

Уравнение (2.18) является уравнением семейства горизонтальных плоскостей (параллельных плоскости хОу). Итак, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость, во всех точках которой гидростатическое давление одинаково. Гидростатическое давление зависит только от глубины точки погружения в жидкость. Этот вывод относится также и к сообщающимся сосудам, которые имеют поверхности уровня, расположенные на одной высоте.