Лекция 6. Логико-вероятностные методы анализа надежности

Под структурно-сложной системой с точки зрения анализа надежности будем понимать систему, состоящую из произвольного количества произвольно соединенных резервированных звеньев (параллельно-последовательных, мостиковых). В предыдущих лекциях были рассмотрены два метода исследования надежности структурно-сложных систем: метод анализа сложных последовательно-параллельных структур, метод разложения относительно особого элемента. При большом количестве элементов и межэлементных связей проведение расчетов надежности этими методами является крайне сложной задачей. Автоматизация расчетов позволяет решить проблему анализа надежности структурно-сложных систем. Для осуществления автоматизации необходимо иметь общее формальное описание “надежностного поведения” анализируемой системы. В качестве такого описания была выбрана алгебра логики (см. приложение). Метод анализа надежности сложных систем, при котором их структура описывается средствами математического аппарата бинарной алгебры логики, а количественная оценка надёжности производится с помощью теории вероятностей, получил название логико-вероятностного метода.

Применение логико-вероятностных методов для определения значений вероятностных показателей надежности в момент времени t для системы, состоящей из n элементов, осуществляется в несколько этапов:

· конструирование логической функции работоспособности системы

· преобразование логической функции к форме перехода к замещению

· получение расчетной вероятностной формулы

1. Конструирование логической функции работоспособности (неработоспособности) системы

Делается предположение о том, что как сама система, так и составляющие ее элементы могут находится только в двух состояниях – работоспособности и отказа, причем отказы элементов предполагаются независимыми. Тогда, исходя из условий работоспособности (неработоспособности) системы, можно сконструировать логическую функцию ее работоспособности S(x) (неработоспособности )

(1)

Аргументом функции S является вектор-строка x логических переменных ,, таких что

(2)

Например, если за исходное описание системы принять уже изученные нами блок-схемы надежности, то для системы, состоящей из двух последовательно соединенных в смысле надежности элементов (отказ каждого является отказом системы в целом) (рис.1.а), , а . Функция работоспособности дублированной системы, в которой одиночные отказы элементов не приводят к ее отказу (рис.1.б), равна , неработоспособности - . Для мостиковой структуры (рис.1.в) , . Эти функции построены достаточно формально – они отражают наличие хотя бы одной связи (пути) между входом и выходом надежностной схемы системы. Путь работоспособен, если работоспособны все входящие в него элементы. Поэтому каждому пути соответствует элементарная конъюнкция переменных, соответствующих входящим в путь элементам, а S(X) – есть дизъюнкция всех элементарных конъюнкций, соответствующих возможным путям от входа к выходу. Для систем небольшой размерности запись подобных логических выражений не представляет труда, для сложных систем, состоящих из большого числа компонентов, требуются специальные алгоритмы прохода схемы и формирования путей.


а).	б).	в).

Рис.1. Блок-схемы надежности.

II. Преобразование логической функции к форме перехода к замещению

Полученная на первом этапе форма логической функции S(X) называется исходной. Работая только с исходной функцией работоспособности (неработоспособности), мы не сможем достигнуть конечной цели – получить из S(x) вероятностное аналитическое выражение (P(S(x)=1) для расчета показателей надежности. Например, если заменить соответствующими вероятностями логические переменные в выражении функции работоспособности для параллельных систем “1 из n”, то, очевидно, можно получить значение большее единицы. Поэтому исходную форму необходимо преобразовать к одной из стандартных форм, называемых формами перехода к замещению (ФПЗ) и допускающих замещение логических переменных вероятностями, а логических операций арифметическими.

Существуют несколько форм перехода к замещению:

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).

Например, для схемы “2 из 3” .

СДНФ: (3)

Известно, что алгоритмы получения СДНФ хорошо формализуемы, но сама форма представления является достаточно громоздкой.

2. Бесповторная форма в базисе конъюнкция отрицание.

Бесповторная форма логической функции в базисе конъюнкция-отрицание является ФПЗ. Бесповторной называют формулу логической функции, в которую каждая переменная входит только один раз. Для получения бесповторной формы используют операции поглощения, склеивания, распределительный закон, а для перехода к базису () – исключение операции дизъюнкции по правилу де-Моргана (см. приложение).

Рассмотрим . Применим распределительный закон . После двукратного применения правила де-Моргана получим бесповторную ФПЗ (БФПЗ) в базисе конъюнкция-отрицание

БФПЗ: (4)

Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм в базисе конъюнкция-отрицание.

Дизъюнкция ортогональных бесповторных форм является ФПЗ. Здесь . Бесповторность относится только к отдельному Y_i , а в различных Y_i логические переменные могут повторяться.

Для преобразования логической функции к ортогональной бесповторной форме перехода к замещению (ОБФПЗ) разработан алгоритм “разрезания”, основанный на теореме разложения булевой алгебры:

(5)

Первое и второе слагаемое выражения (5) ортогональны, так как в них присутствует переменная и ее отрицание.

Последовательность действий в алгоритме разрезания следующая:

• выбирают x_i c максимальным числом вхождения в S(x)

• проводят разрезание S(x) по x_i

• в каждом из полученных ортогональных слагаемых выполняют преобразования с целью получения бесповторной формы в базисе ()

• если хотя бы в одном из слагаемых невозможно получить ФПЗ, то снова выбирают переменную и проводят разрезание и т.д. Окончанием работы алгоритма разрезания является получение ФПЗ для всех слагаемых S(x).

Продемонстрируем работу алгоритма разрезания на примере получения ОБФПЗ для логической функции работоспособности мостиковой схемы (рис.1.в).

(6)

Проводим разрезание по x₅

(7)

По правилу де-Моргана преобразуем каждое слагаемое к ФПЗ

(8)

3. Получение расчетной вероятностной формулы

После приведения исходной логической функции работоспособности (неработоспособности) к любой из рассмотренных ФПЗ, получение расчетной формулы для вероятности истинности в момент времени t логической функции системы не представляет труда. Для этого надо логическую переменную x_i заменить соответствующей вероятностью p_i = P(x_i = 1), - вероятностью q_i = P(x_i = 0), логическую операцию дизъюнкции – арифметической операцией сложения, конъюнкцию – умножением, операцию логического отрицания - вычитанием из единицы: 1- P(y=1). Вычисляемая таким образом вероятностная характеристика является коэффициентом готовности (К_г) (коэффициентом простоя=1-К_г) для систем с восстановлением элементов. Для систем без восстановления элементов вероятность истинности в момент времени t будет являться вероятностью безотказной работы (отказа) на интервале (0,t).

Так, из СДНФ (3) получаем следующую формулу для расчета вероятности безотказной работы схемы “2 из 3:”

(9)

Для БФПЗ (4) имеем

(10)

Для ОБФПЗ мостиковой схемы

(11)

Литература к лекции 6.

1. Рябинин И.А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем. Л.: Судостроение, 1971.

2. Хенли Э.Дж., Кумамото Х. Надежность технических систем и оценка риска. М.: Машиностроение, 1984.

3. Дилон Б., Сингх Ч. Инженерные методы обеспечения надежности. М.: Мир, 1984.

4. Надежность технических систем: Справочник / Ю.К. Беляев, В.А.Богатырев, В.В. Болотин и др.; под ред. И.А.Ушакова . М.: Радио и связь, 1985, с.606.

5. Рябинин И.А. Надежность и безопасность сложных систем. // СПб.: Политехника, 2000.

6. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов/Учебное пособие. – СПб,: “Питер”, 2005.

Приложение к лекции 6. Основные положения и соотношения алгебры логики.

Функции, принимающие лишь два значения (1или 0) и определяемые различными наборами двоичных аргументов, называются функциями алгебры логики (ФАЛ). ФАЛ могут быть заданным в табличном виде, при котором перечисляются все возможные значения аргументов (переменных) и указываются соответствующие им значения функции, или в формульном.

В алгебре логики рассматриваются три основные операции над логическими переменными:

Отрицание (инверсия).Если А – высказывание (принимает значение 1 –истина, 0– ложь), то отрицание А обозначается как и читается, как “не А”.

Конъюнкция (умножение, пересечение): A&B или А*B или AÙB. Читается как “А и B”. 0&0=0, 0&1=0, 1&0=0, 1&1=1.

Дизъюнкция (сложение, объединение): A+B или АÚB. Читается как “А или B”. 0 Ú 0=0, 0 Ú 1=1, 1 Ú 0=1, 1 Ú 1=1

Преобразование логических выражений осуществляется по определенным правилам, которые легко доказываются, либо очевидны.

Правила для одной переменной.

Правила для двух, трех переменных.

Сочетательный (ассоциативный) закон.

В силу 11,12 логические выражения можно писать без скобок, как в обычной алгебре, и умножение также считается старшей операцией.

Переместительный (коммутативный) закон.

Распределительный (дистрибутивный) закон.

Выражения 11-16 – “симметричны”, т.е. получаются одно из другого заменой на и наоборот.

Закон двойственности (инверсий).

Если к 17,18 применить 9, то получим формулы де Моргана:

Операция поглощения.

Операция склеивания.

Из 4 и 15 можно получить:

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция нескольких логических переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причём среди переменных могут быть одинаковые.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция нескольких переменных, взятых с отрицанием или без отрицания, причём среди переменных могут быть одинаковые.

Всякую дизъюнкцию элементарных конъюнкций называют дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Всякую конъюнкцию элементарных дизъюнкций называют конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Совершенной ДНФ логической функции (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет равных элементарных конъюнкций и все они содержат одни и те же переменные, причём каждую переменную только один раз (возможно с отрицанием). Совершенной КНФ (СКНФ) называется КНФ, в которой нет равных элементарных дизъюнкций и все они содержат одни и те же переменные, причём каждую переменную только один раз (возможно с отрицанием).