Локальная теорема Муавра-Лапласа
Теорема. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие произойдёт раз в испытаниях при достаточно большом числе приблизительно равна
- формула Лапласа,
где , - функция Гаусса.
Формула Лапласа даёт незначительную погрешность, если .
Для упрощения расчётов составлена таблица значений функции , которая приводится в приложениях учебников.
Свойста функци , ее график
1) Чётная: , т.е. график симметричен относительно оси .
2) С осью пересекается в точке .
3) С осью не пересекается, так как при любых значениях показательная функция .
4) Ось является горизонтальной асимптотой, так как .
Следовательно, - горизонтальная асимптота.
5) Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную и определим критические точки:
, . Т.о. - критическая точка.
Т.к. на интервале функция возрастает, а на интервале - убывает, то
точка - точка максимума. График функции построен на рис. 3.1.