Лекция 2. Основные теоремы теории вероятности. СС-2

Статистическое определение вероятности. Относительная частота события А - отношение числа наступления события А в серии из n испытаний к общему числу испытаний (n). m(А)/n.

Лекция 1. Основные понятия теории вероятности. (ТВ)- СС-1

ЛИТЕРАТУРА

Продолжение следует

 

1. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1976. – 464 с.

2. Богомолов Б.Б., Меньшиков В.В., Богословский К.Г., Быков Е.Д., Шумова В.С. Управление проектированием и эксплуатацией окрасочных линий с использованием бизнес-моделирования. Сборник научных трудов «Технология лакокрасочных покрытий» // Науч.-произв. Об-ние «Лакокраспокрытие» – М: «Пэйнт-Медиа», 2012, с.40-113.

3. Богомолов Б.Б. Организационно-экономическое моделирование. Моделирование бизнес-процессов. – М: РХТУ, 2011. – 96 с.

4. Репин В.В., Елиферов В.Г. Процессный подход к управлению. Моделирование бизнес-процессов. – 7-е изд. М.: РИА «Стандарты и статистика», 2009. – 408 с.

5. Маклаков С.В. Моделирование бизнес-процессов с AllFusion PM. М.: Изд-во Диалог – МИФИ, 2008. – 224 с.

6. Богомолов Б.Б., Бирюков А.Л. Интеллектуальный анализ данных в химии и химической технологии: учеб. пособие. – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2004. – 56 с.

7. Богомолов Б.Б., Бирюков А.Л.Проектирование прикладных банков данных: учеб. пособие. – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2004. – 52 с.

8. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений: Учебник. – М.: Университетская книга, Логос, 2006. - 392 с.

9. Колобов А.А., Омельченко И.Н., Орлов А.И. Менеджмент высоких технологий. Интегрированные производственно-корпоративные структуры: организация, экономика, управление, проектирование, эффективность, устойчивость, М.: Издательство «Экзамен», 2008. – 621 с.

10. Информационный системы и технологии управления: учебник для студентов вузов / под ред. Г.А. Титоренко. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. – 591 с.

11. Кафаров В.В., Мешалкин В.П Анализ и синтез химико-технологических систем.. М.: Химия, 1991. - 432 с.

12. Мешалкин В.П., Товажнянский Л.Л., Капустенко П.А. Основы теории ресурсосберегающих интегрированных химико-технологических систем. – Харьков: НТУ (ХПИ), 2006. - 412 с.

13. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие. М.: Вузовский учебник, 2008. – 365 с.

14. Дейт К. Введение в системы баз данных. – М.: Вильямс, 2001. – 1072 с.

15. Построение инфологической модели прикладного банка данных: методические указания / Сост. Б.Б. Богомолов – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2005. – 36 с.

16. Богомолов Б.Б., Меньшиков В.В., Богословский К.Г., Быков Е.Д., Моделирование химико-технологических систем с использованием организационно-технологических моделей бизнес-процессов. Сборник научных трудов «Технология лакокрасочных покрытий» // Науч.-произв. Об-ние «Лакокраспокрытие» – М: «Пэйнт-Медиа», 2013, с. 4 - 47.

17.Волкова О.Н., Ковалев В.В. Анализ хозяйственной деятельности предприятия – М.: Проспект, 2002. – 412 с.

18. О Лири Д. ERP-системы. Современное планирование и управление ресурсами предприятия. – М.: Вершина, 2004. – 272 с.

19.Быков Е.Д., Меньшиков В.В. Организация и управление высокотехнологичными программами и проектами. – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2010. – 112 с.

 

ТВ – это раздел математики изучающий закономерности случайных явлений. «ТВ объединяет точность математических доказательств с неопределённостью случая и примеряет эти противоречивые элементы».

Случайное явление - явление с неопределённым исходом, который при неоднократном воспроизведении некоторого комплекса условий происходит несколько по разному.

Существует два подхода к изучению таких явлений: 1). Детерминистский. 2). Вероятностный.

Испытание - модель реального действия. реализация определённого комплекса условий который может быть воспроизведён сколько угодно раз. Задать испытание в т/в это значит задать множество его элементарных (неделимых на более мелкие) исходов W. W=.

Случайное событие - событие которое может наступить или не наступить в результате испытания. Для любого события “А” множество W элементарных событий разделяется на два подмножества W – А⁺ и А^– .

А^{+ -} подмножество благоприятных исходов вместе с каждым из которых наступает событие А⁺.

А^{– -} подмножество неблагоприятных исходов, при реализации которых событие А не происходит.

Задать событие– это значит задать подмножество А⁺ благоприятных исходов на множестве W.

Невозможное событие - событие которое никогда ни происходит в результате испытания. Достоверное событие - событие которое всегда происходит при испытании.

Два события называются несовместными, если появление одного исключает появление другого.

События совместны, если они могут произойти одновременно.

Вероятность случайного события- это количественная мера степени уверенности в его наступлении.

Классическое определение вероятности: Для испытания с конечным числом равновозможных исходов вероятность случайного события “A” обозначается Р(А) и определяется как отношение числа благоприятных исходов m к общему числу n элементарных исходов испытания:

Р(А) = m/n.

Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1. 0Р(А)1

Вероятность невозможного события равна 0. Вероятность достоверного события равна 1.

Если в различных сериях из n испытаний относительная частота события мало изменяется и близка некоторому числу Р , то это число считают статистической вероятностью.

Геометрическое определение вероятности - Применяется к опыту (испытанию) с бесконечным числом равновозможных исходов. Пусть дан отрезок длины “L” и на нём отрезок “L₁” Под геометрической вероятностью принимается вероятность попадания точки на отрезок L₁, равная отношению длин этих отрезков Р(А) = ^L1/_L

Элементы комбинаторики:

Комбинаторика – это раздел математики в которой изучаются расположения (комбинации) объектов составленные по определённым правилам и способам подсчёта этих комбинаций.

Основными расположениями объектов являются: перестановки размещения и сочетания.

Основное правило комбинаторики:если элемент а₁ можно выбрать “n₁” способами и при каждом таком выборе, выбор элемента а₂ может быть произведён n₂ способами, то общее число пар (а₁;а₂) равно N = n₁۰n₂.

Перестановками называют упорядоченное множество составленное из всех элементов “A”. Перестановки отличаются друг от друга порядком элементов.

Р_n – число перестановок множества из n элементов = n۰(n – 1)۰(n – 2)…1 = n!; (0! = 1; 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6…).

Размещения. A_n^k упорядоченныеk- элементные подмножества n элементного множества.

Число размещений : A_n^k=n(n-1)(n-2)۰…۰(n – k + 1)=

Сочетания C_n^{k -}“k” элементные подмножества “n” элементного множества. Два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов, но не их порядком.

Связьмежду числом сочетаний , размещений и перестановок. A_n^k = C_n^k۰P_k

Число сочетаний: C_n^k =A_n^k/P_k =Свойства числа сочетаний: 1). C_n^k = C_n^{n – k}; 2). C_n^k = C_{n – 1} ^{k – 1} + C ^k _{n – 1}

События “A” и “B” связанные с одним и тем же испытанием, называются эквивалентными, если их множества благоприятных исходов А+ и В+ совпадают. Вероятности эквивалентных событий равны Р(А) = Р(В).

– Операции над событиями –

Противоположным событием для события “A” называется новое событие - , состоящее в том, что событие “A” не произошло. (Событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А).

Суммой или объединением двух событий А и В называется новое событие С=А+В =АВ, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из этих событий (или событие А, или В или А и В одновременно). Если события А и В несовместные, то сумма А+В заключается в появлении одного из них.

Произведением или пересечением двух событий А и В называется новое событие С=А۰В =А∩В, заключающееся в одновременном наступлении событий А и В.

– Свойства операций над событиями –

1). Коммутативность сложения А + В = В + А. 2). Ассоциативность сложения (А + В) + С = А + (В + С).

3). Коммутативность умножения А۰В = В۰А. 4). Ассоциативность умножения (А۰В)С = А(В۰С).

5). Сумма противоположных событий – достоверное событие.

6). Произведение противоположных событий, есть невозможное событие.

Вероятность произведения событий.

Условной вероятностью Р_В(А)события А называется- -вероятность появления события А, при условии, что событие В уже произошло.

События А и В независимы, если Р(А)=Р_В(А) и Р(В)=Р_А(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого .

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей

Условная вероятность Р_В(А)равна отношению вероятности совместного наступления событий А и В к вероятности события В.

.– Теоремы сложения вероятностей –

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

- вероятность суммы несовместных событий

Доказательство проведём для испытания с конечным числом n равновозможных исходов. Пусть

m₁ – число исходов благоприятствующих событию A, а m₂ – число исходов благоприятствующих событию В. Тогда вероятность события А = m₁/n; а Р(В)= m₂/n. Т.к. эти события несовместные, то число исходов благоприятствующих событию А + В = m₁ + m₂, тогда Р(А + В) = (m₁ + m₂₎/n = m₁/n + m₂/n = Р(А) + Р(В).

Следствие 1: Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событий = сумме их вероятностей Р() = Р(А₁) + Р(А₂) +…+ Р(А_n)

События А₁,А₂ , …, А_n образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате испытания обязательно произойдёт хотя бы одно из них.

Следствие 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Общая теорема сложения вероятностей Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)– вероятность суммы совместных событий.

Доказательство: из опр. суммы возможны три несовместных варианта: А и В произошли вместе - А۰В , произошло А, но не В – , произошло только В - . Для независимых событий вероятность первого варианта –, вероятн. второго Р()=; Р() =- вер. третьего. Сложив эти вероятности, получим вероятность суммы совместных независимыхсобытий