Внутригодовые процентные начисления
Простые и сложные процентные ставки
Как уже отмечалось выше (см. Базовые концепции финансового менеджмента), временная стоимость денег может быть выражена несложной зависимостью (формулой) математического дисконтирования: PV = FV/(1 + r), (2.1)
где через PV обозначена текущая (дисконтированная) стоимость будущего денежного потока; через FV – будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока; через r – ставка доходности, соответствующая оценке инвестором уровня риска. Формула, обратная формуле (2.1), носит название формулы наращения: FV = PV(1 + r). (2.2)
В формулах (2.1) и (2.2) ставка r представляет собой периодическую ставку, соответствующую одному периоду времени между текущим и будущим денежными потоками (в качестве такого периода может выступать год, квартал, месяц и др.) Если таких периодов до будущего платежа несколько, то формулы (2.1) и (2.2) примут соответственно вид PV = FV/(1 + r)n, (2.1')
FV = PV(1 + r)n. (2.2')
Формула (2.2') выражает начисление процентов по сложной ставке. При этом процентный доход начисляется не только на основную сумму PV, но и на ранее начисленные проценты. В финансовом менеджменте использование сложного процента означает неявное предположение о реинвестировании получаемого дохода под действующую ставку доходности.
В некоторых случаях используется и ставка простого процента, начисляемая по формуле
FV = PV(1 + пr). (2.3)
При этом проценты начисляются только на основную сумму PV. Использование простых процентов правомерно в случаях, когда начисление производится за период, меньший, чем промежуток времени между соседними начислениями (выплатами) дохода.
В современной практике достаточно часто встречаются случаи, когда начисление процентов по некоторой номинальной годовой процентной ставке r осуществляется чаще, чем один раз в год. В частности, таким образом обычно начисляются проценты по банковским вкладам. В этом случае проценты, начисленные по подпериодам в соответствии с периодичностью начисления, будут реинвестироваться под ставку, равную номинальной годовой деленной на количество периодов начисления в году. Наращенная стоимость в таком случае будет иметь вид FV = PV(1 + r/m)mn, (2.4)
где m - количество начислений в году, r - номинальная годовая процентная ставка, n - количество лет. Очевидно, что чем чаще происходит начисление процентов при одной и той же номинальной годовой ставке, тем выше будет начисленная сумма. При этом если устремить число начислений m к бесконечности, то есть продолжительность периода начисления – к нулю, то формула (2.4) примет вид2
FV = PV℮r n, (2.4')
где ℮ - основание натурального логарифма. Начисление процентов по формуле (2.4') носит название непрерывного и используется в теории управления инвестиционным портфелем.