Аналитическая геометрия

Раздел 2.

Глава 3. Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок прямой. Из определения следует, что вектор имеет три характеристики: прямую на которой он лежит, направление по прямой и длину. Первые две характеристики объединяются одним понятием – направление. Обозначаются вектора по точкам начала и конца АВили . Различают три вида векторов: свободные вектора, которые не меняются при параллельном переносе, вектора, которые можно переносить только по прямой на которой они лежат (например, вектора сил в механике) и радиус вектора, начало которых всегда находится в начале координат. Мы будем рассматривать только свободные вектора. Свободные вектора называют равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину (рис 3.1), т. е. параллельный перенос вектора не меняет. Свободные вектора обозначают одной буквой или а, b и т. д. Длину вектора обозначают при помощи модульных скобок = çаç= а.

Вектора складывают по правилу параллелограмма: совмещают концы векторов, строят на векторах как на сторонах параллелограмм; суммой векторов называют вектор диагонали исходящий их общего начала a+ b= c(рис.3.2). Вектора можно складывать и по правилу треугольника (рис. 3.3). Правило треугольника можно применить к сумме любого числа векторов (рис 3.4)

 

	Рис. 3.1
		Рис. 3.2. Рис. 3.3. Сложение векторов

Умножение вектора на числоλ идет по следующему правилу: при умножении на положительное число направление вектора сохраняется, при умножении на отрицательное – меняется на противоположное, а длина определяется по правилу (рис 3.5).

 

çλа ç = а(3.2)

По определению a- b= a+ (-1)b.

	Рис. 3.4 Сложение нескольких векторов		Рис. 3.5. Умножение вектора на число

 

 

Проекциейвектора на ось ОХ называется число равноеразности координат проекций конца и начала вектора

pr_OXAB= x₂ – x ₁= çAB çcos(α), (3.6)

 

где α - угол между вектором и осью (рис. 3.6).

Аналогично можно ввести проекцию вектора на оси OY и OZ:

 

pr_OYAB= y₂ – y₁= çABçcos(β) (3.6)

 

и

 

pr_OZAB= z₂ – z₁= çABçcos(γ) , (3.7)

где β и γ углы между вектором АВи осями OY и OZ. Косинусы углов cos(α), cos(β) и cos(γ) называют направляющими косинусами

 

cos²(α)+cos²(β)+cos²(γ) = 1. (3.8)

 

 

 

	Рис. 3.6. Проекция вектора на ось ОХ

 

 

Если ввести i, j иk - единичные вектора осей ОХ, OY и OZ (их называют ортами), то вектор

 

A₁B₁ = i(x₂ – x₁),A₂B₂ = j(y₂ – y₁) иA₃B₃ = k(z₂ – z₁). (3.9)

 

По правилу сложения векторов (рис. 3.7):

 

AB= A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃ = i(x₂ – x₁) + j(y₂ – y₁) + k(z₂ – z₁) ≡{(x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}.

 

Равенство

 

AB= {(x₂ – x₁), (y₂ – y₁), (z₂ – z₁)}(3.10)

называется «запись вектора в форме проекций».

Операции с векторами a, b заданными в форме проекций идут по следующему правилу:

 

a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂}

 

a+ b ={ (x₁+x₂), (y₁ + y₂), (z₁ + z₂)}; (3.11)

 

λa = {λx₁, λ y₁, λz₁}. (3.12)

 

Скалярным произведением векторов a = {x₁, y_1, z₁)}; b = {x₂, y₂, z₂} называют число равное произведению длин векторов на косинус угла между ними

 

а× b = (a,b) = ça ç· çb çcos(Ða, b) = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂. (3.13)

 

Скалярное произведение перестановочно: а×b=b×а. Если вектора перпендикулярны, то скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов используют для определения длины вектора

а× a = x₁x₁+ y₁y₁ + z₁z₁ = x₁²+ y₁² + z₁² Þ ça ç= (3.14)

Замечание: скалярное произведение обозначается знаком .

Пример. Найти угол φ между векторами и , если М₁(1, -2, -3), М₂(-3, 1, 1), М₃(3, 2, 2).

Решение. Для нахождения cosφ используем формулу

где - скалярное произведение векторов и .

Определим координаты векторов и cosφ:

= (-3-1, 1+2, 1+3) =(-4, 3, 4), = (3-1, 2+2, 2+3) = (2, 4, 5),

,

 

φ = 87⁰45'54^".

 

Векторным произведениемвекторов aи bназывают такой вектор c = a´ b, который:

1. лежит на прямой перпендикулярной плоскости векторов aи b,

2. имеет длину численно равную произведению длин векторов на синус угла между ними

 

çc ç = ça ç· çb çsin(Ða, b) = ça ç· çb ç sin(φ),

 

3. направление вектора c определяется по правилу буравчика: если вращать рукоять буравчика от первого вектора ко второму по наименьшему углу, то поступательное движение буравчика показывает направление вектора c.

 

 

Векторное произведение единичных векторов осей координат - ортов i, j, kравно

 

k = i´ j,i = j´ k, j = k´ i.(3.15)

 

Векторное произведение не перестановочно:a´ b = - b´ a. Для коллинеарных векторов (лежащих на одной прямой) векторное произведение равно нулюa´ b = 0, если aççb. Для векторов заданных в форме проекций

 

с = a´ b = = i(y₁z₂ – y₂z₁) - j( x₁z₂ – z₁x₂) + k( x₁y₂ – x₂y₁). (3.16)

 

Длина вектора векторного произведение численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах: S = ça ç çb çsin(φ).

Замечание: векторное произведение обозначается знаком .

Смешаннымпроизведением векторов a, bиc называется векторно-скалярноепроизведение

a´ b × c = a × b ´ c º a b c = , (3.17)

т. е. два вектора (первый – второй или второй – третий) перемножаются векторно, а третий вектор умножают на результат векторного произведения скалярно. В записи смешанного произведения знаки произведений обычно опускают. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны (лежат в одной плоскости). Смешанное произведение используют для вычисления объема параллелепипеда и пирамиды, построенной на векторах a, b, c.

V_пар = êa b c ê; V_пир = êa b c ê.

 

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1, -2, -3), А₂(-3, 1, 1), А₃(4, 3, -1), А₄(3, 2, 2). Найти площадь грани А₁ А₂ А₃ и объем пирамиды.

Решение. Площадь треугольника А₁А₂А₃ найдем, используя геометрический смысл векторного произведения векторов

,

где - векторное произведение векторов.

Вначале находим

,

а затем

ед².

Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов

,

следовательно, ед³.