Действия над матрицами

Глава 1. Матрицы

Раздел 1. Линейная и векторная алгебры

BIBLIOGRAPHY

1. Lakhtin Yu. Engineering Physical Metallurgy and Heat-treatment.-Moscow: Mir Publishers, 1974, - 416 p.

2. Texнология металлов и материаловедение /B.B. Kнорозов, Л.O. Усова, A. B. Tpeтьяков и др. - M.: Meталлургия, 1987. - 800c.

3. Металловедение и технология металлов /Ю.П. Солнцев, В.А. Веселов, В.П. Демянцевич и др. – М.: Металлургия, 1988. - 512 c.

 

 

 

МатрицейА называется таблица чисел. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n. Количество элементов в такой матрице равно произведению mn. Обозначение матрицы

 

(1.1)

 

или сокращенно A=(aij)m n. Числа aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца.

Матрица называется прямоугольной,если mn, Если m=n, то матрица называется квадратной и число n - порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки - матрица-строка. У таких матриц элементы могут иметь только один номер.

 

; (1.2)

 

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Для квадратной матрицы порядка n (число строк равно числу столбцов и равно n) A=(аij)n,n, элементы a11, a22, ..., ann с одинаковыми индексами образуют главную диагональ. Элементы a1 n, a2 n-1, ..., an 1 образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: aij=0 при ij. Диагональная матрица обозначается так

 

. (1.3)

 

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, единице называется единичнойи обозначается

(1.4)

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

 

, . (1.5)

 

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантомили определителем,которыйобозначается символами detA или D(A) или |aij|.

Для матрицы определитель находится по формуле: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

 

det(A) = = a11 a22 – a12 a21. (1.6)

 

Для матрицы определитель находится по формуле

 

det(A) = = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 - a13a22 a31

- a12 a21 a33 - a11a23 a32. (1.7)

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение:

 

 

Определитель единичной матрицы равен единице det I = 1.

Минором Mik называется определитель меньшего порядка (размера), полученный при вычеркивании i-той строки и k-того столбца.

Алгебраическим дополнением Aik называется минор, знак которого определяется по правилу Aik = (-1)i+k Mik.

Определитель можно представить в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения, например

, (1.8)

где

 

, ,……..

 

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A¹0, и вырожденной(особенной), если det A=0. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

 

. (1.9)

 

Равенство матриц. Две матрицы A=(aij)m,n и B=(bij)k,q называются равными, если они одинаковы по размеру (m=k, n=q) и их соответствующие элементы равны (aij = bij).

Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц A=(aij)m,n и B=(bij)m,n называется матрица C=(cij)m,n того же размера, причем элементы матрицы C равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е.

 

C = A+B, если cij = aij + bij. (1.10)