Поверхности второго порядка.
Классификация кривых второго порядка.
Рассмотрим общее уравнение второго порядка (11.5):
и выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.
1. Если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 одного знака, уравнение (11.5) называется уравнением эллиптического типа. Его можно привести к виду (11.7): , которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:
а) если имеет тот же знак, что и λ1,2, при делении на получаем
- каноническое уравнение эллипса.
б) если =0, уравнение имеет единственное решение:, определяющее точку на плоскости.
в) если знак противоположен знаку λ1,2, уравнение после деления на примет вид:
. Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют мнимым эллипсом).
2. Если собственные числа матрицы А λ1 и λ2 разных знаков, уравнение (11.5) называется уравнением гиперболического типа.
а) при оно сводится к одному из двух видов:
или , в зависимости от знака . Оба этих уравнения определяют гиперболу.
б) При =0 получаем уравнение , эквивалентное двум линейным уравнениям: и , задающим пару пересекающихся прямых.
3. Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (11.5) называется уравнением параболическоготипа, и его можно привести к одному из следующих видов:
а) к уравнению (11.8): , определяющему параболу;
б) к уравнению , или , задающему пару параллельных прямых;
в) к уравнению , определяющему одну прямую (или пару совпадающих прямых);
г) к уравнению , не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.
Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
- (12.1)
уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.
Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:
1. Если λ1, λ2, λ3 – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:
а) - (12.2)
каноническое уравнение эллипсоида.
Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.
б) - (12.3)
уравнение задает точку в пространстве;
в) - (12.4)
пустое множество.
2. Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:
а) - каноническое уравнение однополостного гиперболоида, (12.5)
б) - (12.6)
- каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,
в) - (12.7)
уравнение конуса второго порядка.
3. Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):
а) - (12.8)
каноническое уравнение эллиптического параболоида,
б) - (12.9)
каноническое уравнение гиперболического параболоида
и уравнения цилиндрических поверхностей:
в) - эллиптический цилиндр, (12.10)
г) - гиперболический цилиндр. (12.11)
Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:
д) . (12.12)
4. Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:
а) - параболический цилиндр, (12.13)
б) - пара параллельных плоскостей, (12.14)
в) - пустое множество.