Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1. 
   Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
2. 
   Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
3. , где k – произвольная константа.
   Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
4. 
   Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

• первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
• второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

· Точно так же из формулы

·

· следует, что

·

·

·

· и т. д.

· Остановимся теперь на другой форме замены переменной. Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на каком-нибудь промежутке [a, b]. Допустим, что x = φ(t) есть функция, заданная на другом промежутке [α, β], имеющая там производную φ'(t) и удовлетворяющая неравенствам a ≤ φ(t) ≤ b. Пусть, кроме того, существует обратная функция t = ψ(x), заданная на [a, b]. Рассмотрим интеграл

·

· Согласно сказанному выше для нахождения этого интеграла нужно переписать его в форме

·

· и заменить φ(t) через x, что приведет нас к интегралу

·

· Этот последний интеграл заведомо существует (т. к. f(x), будучи непрерывной, имеет первообразную). Пусть

·

· Тогда, применяя 1-е правило подстановки к интегралу I₁, получим:

· I₁ = A[φ(t)] + C.

· Пусть A[φ(t)] = F(t). Заменяя здесь t через ψ(t) и замечая, что φ[ψ(t)] = x, находим:

· A(x) = F[ψ(t)].

· Отсюда вытекает, что

·

· Если еще заметить, что F(t) есть не что иное, как A[φ(t)], т. е. первообразная для f[φ(t)]φ'(t), то сможем формулировать

· Взаимное расположение двух прямых

· Если прямые заданы уравнениями и то они:

· 1) параллельны (но не совпадают)

· 2) совпадают

· 3) пересекаются

· 4) скрещиваются

· Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):

· 1)

· 2)

· 3)

· 4)

·
Расстояние между двумя параллельными прямыми

·

· В координатах

·

·