Касательная плоскость

Касательный вектор к кривой. Нормаль к поверхности.

 

1) Касательный вектор. Рассмотрим кривую L в пространстве, заданную параметрическими уравнениями:

Фиксируем некоторое значение , тем самым фиксируем некоторую точку M на кривой L : Придадим переменной t некоторое приращение , получим точку

Пусть . Тогда из рисунка мы видим, что вектор является касательным вектором к кривой L .

 

2) Касательная плоскость к поверхности .

Пусть задана поверхность

Пусть точка - произвольная точка на поверхности то есть ее координаты удовлетворяют уравнению поверхности .

Проведем через точку M кривую L, целиком лежащую на поверхности : .

Строим

Здесь мы ввели вектор - градиент функции

Вектор перпендикулярен касательному вектору ко кривой L в точке M.

Соотношение (

Рассмотрим L - нормаль к поверхности в точке .Вектор является направляющим вектором этой прямой, отсюда выписываем уравнение нормали к поверхности в точке :

или хотя бы одна из частных производных не существует в этой точке, то касательная плоскость в точке не существует.

Рассмотримгеометрический смысл первого дифференциала. Используем результаты, полученные выше.

Рассмотрим функцию двух переменны . Пусть точка принадлежит области определения функции z. Тогда точка лежит на поверхностиФиксируем приращения . Имеем:

 

точка Nлежит на поверхности, точка Mлежит на плоскости, касающейся поверхности в точке :

Пусть P касательная плоскость к поверхности в точке

 

Пусть точка ,где координата удовлетворяет уравнению плоскости P.

Имеем:

 

Отсюда получаем геометрический смысл первого дифференциала:

первый дифференциал геометрически равен приращению аппликаты точки приращению аппликаты точки касательной плоскости, если переменным

приданы приращения

Если функция z дифференцируема в точке, то верно соотношение ( точки K и N имеют совпадающие проекции на плоскость OXY )