Код с четным числом единиц

Простейшие корректирующие коды

Энергетический выигрыш

В заключение рассмотрим энергетический выигрыш от помехоустойчивого кодирования для случая известных (заданных) параметров канала связи и кода. Вероятность ошибки на выходе дискретного канала связи p_вых (или вероятность ошибки декодирования p_д) является функцией отношения сигнал/шум и качества используемого корректирующего кода. “Выигрыш от кодирования” или “энергетический выигрыш” (ЭВК в дБ), который указывает на улучшение качества системы связи от использования данного способа кодирования или метода защиты от ошибок, определяется выражением

. (1.17)

где h₁², h₂² - отношения сигнал/шум в первой и второй сравниваемых системах связи при одинаковой вероятности ошибок на выходе;

a - коэффициент, выравнивающий скорость передачи информации в сравниваемых системах.

Например, если первая система является системой без помехоустойчивого кодирования, а вторая система - с обнаружением ошибок и переспросом, то а = (n/k)T_ср/T; здесь Т_ср- средняя длительность передачи кодового слова (или символа длительности T) в системе с переспросом. Для системы c кодом, исправляющим ошибки без переспроса, a=n/k.

Если снять ограничения на длину кодового слова и полосу частот, занимаемую системой связи, то предельный выигрыш от помехоустойчивого кодирования при данной вероятности ошибки в канале связи с гауссовским шумом будет равен

(1.18)

На Рисунок 51 приведены, для примера, кривые предельных значений ЭВК от кодирования при когерентном и некогерентном приеме сигналов дискретной частотной модуляции (ЧМ) в зависимости от вероятности ошибки в дискретном канале связи.

 

Рисунок 92 - Предельные значения ЭВК от кодирования при ЧМ

 

В реальных системах связи длина кода и занимаемая полоса частот ограничены, для этих условий может быть определен асимптотический выигрыш для данного кода. Он зависит только от скорости кода k/n и кодового расстояния.

Для каналов с жёстким решением (на выходе демодулятора двоичныесимволы 1 и 0)

(1.19)

для каналов с мягким решением (на выходе демодулятора многоуровневый сигнал)

(1.20)

Такой выигрыш достигается, когда E/No. Из этих соотношений видно, что мягкие решения обеспечивают дополнительный выигрыш не более 3 дБ (при E/No) и существенно меньше при реальных значениях отношения сигнал/шум.

 

Код с четный числом единиц является двоичным блочным кодом и образуется путем добавления к кодовому слову k-символьного кода одного избыточного символа так, чтобы количество единиц в новом -символьном слове было четным. В таблице 14 приведён пример кодирования пятизначного кода: k=5, n=6 .

 

Таблица 14 - Таблица кодирования

 

Код обнаруживает все ошибки нечетной кратности. Обнаружение ошибок производится проверкой принятого кодового слова на четность, так как все разрешенные слова имеют четное число единиц, а неразрешенные - нечетное. Проверка на четность осуществляется суммированием всех символов слова по модулю два. Если словоимеет четное число единиц, то сумма его символов по модулю 2 равна 0.

Если в канале связи ошибки независимы и вероятность искажения кодового символа равна , то согласно биномиальному закону распределения вероятность обнаружения ошибки равна

(1.21)

вероятность искажения кодового слова

 

вероятность необнаруженной ошибки

(1.22)

Коэффициент избыточности этого кода