Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника.

Приложение 1

1. Вписанная окружность – ее центр и радиус.
	O – точка пересечения биссектрис углов ∆ABC, r – радиус вписанной окружности, S – площадь ∆ABC - для любого ∆	Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
	- - для прямоугольного ∆, где c - гипотенуза	Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.
	- - для правильного ∆, где a - сторона	Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника, медиан и высот.
2. Описанная окружность – ее центр и радиус.
	O – точка пересечения серединных перпендикуляров, R – радиус описанной окружности - для любого ∆,	Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров
	- для прямоугольного ∆, где с – гипотенуза	Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров, делит гипотенузу пополам.
	- для правильного ∆, где а - сторона	Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.

 

3.Окружность. Касательные. Секущие. Хорды. Углы.
	AO∙OB = CO∙OD, где O – точка пересечения хорд AB и CD	Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды относительно точки их пересечения.
	AB2 = AC∙AD, где AB – касательная, B – точка касания	Произведение отрезка секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенных к окружности из одной точки.
	AB∙AC = AD∙AK, где AC и AK - секущие	Произведение отрезка секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная.
	AB – касательная, BC – хорда	Угол, образованный касательной и хордой, проведенных к окружности из одной точки, измеряется половиной дуги, заключенной внутри сторон этого угла.
	- вписанный угол,	Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
	AB, CD – хорды	Угол, вершина которого находится внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, заключенных внутри сторон угла.
	AC и AK – секущие,	Угол, образованный двумя секущими, измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри сторон этого угла.
	AD – диаметр окружности,	Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен 90о.
		Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой.

 

4. Теорема об отрезках касательных
	АВ = АС – касательные,	Отрезки касательных равны. АО – биссектриса угла ВАС
5. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
	- прямой,   ∆AHC, ∆CHB, ∆ACB – подобны между собой   ,	Высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит данный ∆ на 2 подобных и каждый из них подобен данному. Каждый катет есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
6. Вписанный и описанный четырехугольники.
	= 180o,   = 180o	Если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180о, то около него можно описать окружность. Верна и обратная теорема.
	AB + CD = AD + BC	Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. Верна и обратная теорема.