Построение простейших математических моделей
При построение математических моделей необходимо:
- определить элементы решения;
- определить , что является критерием эффективности задачи, то есть целевой функцией;
- составить систему ограничений с учетом дисциплинирующих факторов задачи.
Рассмотрим пример построения простейшей математической модели: задачи о планировании производства.
Предприятие производит изделия трех видов: U1,U2,U3. По каждому виду изделий известен план: b1,b2,b3. План может быть перевыполнен, но в определенных границах: не более p1,p2,p3 единиц соответственно .
На изготовление изделий идет какое-то сырье. Всего имеется 4 вида сырья: S1,S2,S3,S4, причем, запасы сырья ограничены числами y1,y2,y3,y4 соответственно. Для изготовления единицы изделия i-го вида (i=1,3) требуется A[i,j] единиц сырья j-го вида (j=1,4). При реализации единицы изделия i-го вида получают прибыль Сi.
Требуется так спланировать производство, чтобы план был выполнен или перевыполнен, но при отсутствии затоваривания, а суммарная прибыль обращалась бы в максимум.
Решение
Для удобства условие задачи запишем в таблицу
| Изделие | Сырьё | План выпуска | Условие спроса | Прибыль с реализацией | |||
| S1 | S2 | S3 | S4 | ||||
| U1 | A11 | A12 | A13 | A14 | B1 | β1 | C1 |
| U2 | A21 | A22 | A23 | A24 | B2 | β2 | C2 |
| U3 | A31 | A32 | A33 | A34 | B3 | β3 | C3 |
| Запасы сырья | γ1 | γ2 | γ3 | γ4 |
I. Определим, что будет являться элементами решения.
В нашем примере это будет количество выпускаемых изделий каждого типа
Обозначим их через х1, х2, х3 соответственно.
II. Целевой функцией будет максимальная прибыль от реализации. Запишем ее в виде уравнения:
F=C1X1+C2X2+C3X3→max (1)
или
III. Составим ограничения (дисциплинирующие условия)
а) с учетом выполнения плана
(2)
б) с учетом условия спроса
(3)
в) с учетом запасов сырья и нормы расходов.
(4)
Целевая функция (1) с ограничениями (2 )- (4) и представляют математическую модель задачи.