Основные понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка.

Литература

Основные вопросы.

1. Основные понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка.

2. Виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений.

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М. Наука,1985 –Т.1. – 456с.

2. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы,2003 – 686с.

3. Байбазаров М.Б., Байтуреев К.Т., Невердовский В.Г. Дифференциальные уравнения. Сборник задач по высшей математике. – Алматы,2012–110с.

Краткое содержание.

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производные Дифференциальное уравнение записывается в виде

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y=j(x) и ее производную (2)

и любого частного решения данного неоднородного уравнения.

В случае уравнения с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида, частное решение можно найти, не прибегая к интегрированию (метод неопределённых коэффициентов). Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).

1. Правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид

, (3)

где - многочлен n-ой степени. Тогда возможны следующие частные случаи:

a) число не является корнемхарактеристического уравнения

В этом случае частное решение нужно искать в виде

, (4)

где -многочлен степени n, с неизвестными коэффициентами. Чтобы найти коэффициенты многочлена , искомое частное решение (4) подставляют в левую часть уравнения (1) и производят соответствующие упрощения. В полученном тождестве приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно (n+1)), получим систему (n+1) уравнений для определения неизвестных коэффициентов.

б) число является корнем характеристического уравнения кратности r, r=1,2. ( .

В этом случае частное решение следует искать в виде

(5)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь

Запишем соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид и число = k₁является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

Для определения неизвестных коэффициентов подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение. Будем иметь:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:

Следовательно, частное решение будет

Общее решение имеет вид

Пример 2.Найти общее решение уравнения

Решение.По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь

Запишем соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид и число a = 1 является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение у^* будем искать в виде

Для определения неизвестных коэффициентов А и В подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение. После приведения подобных членов и сокращения на , будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

Следовательно, частное решение имеет вид

Таким образом, общее решение данного уравнения будет

2. Пусть правая часть имеет вид

(6)

где P(x) и Q(x) – многочлены от х. Тогда вид частного решения определяется следующим образом:

а) если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения(1) ищем в виде

, (7)

где U(x) и V(x)- многочлены с неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов и ;

б) если число есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

, (8)

Указанные формы частных решений (7) и (8), сохраняются и в этом случае, когда в правой части уравнения (6) один из многочленов и тождественно равен нулю, т.е. когда первая часть имеет вид

или .

Рассмотрим важный частный случай, когда правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид

(9)

где M, N - постоянные числа.

а) Если i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

. (10)

б) Если i является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

. (11)

Пример 3.Найти общее решение уравнения

Решение.По теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения будем иметь

Запишем соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Запишем общее решение соответствующего однородного уравнения

Будем искать частное решение данного неоднородного уравнения. Правая часть уравнения имеет вид

Сравнивая ее с общей формой правой части , замечаем, что число bi = 1i не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение у^* будем искать в виде

Для определения неизвестных коэффициентов А и В подставим предполагаемое решение и его производные в уравнение.

Группируя и приводя подобные члены, будем иметь

Полученное равенство является тождеством. Поэтому коэффициенты при cosx и sinx в левой и правой частях равенства должны быть равны. Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений для определения А и В

Таким образом, частное решение имеет вид

а общее решение уравнения