Вычисление массы плоской кривой.

Длина дуги кривой в полярных координатах.

Решение.

Длина дуги плоской кривой.

Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат.

Пусть плоская фигура D представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой и отрезками лучей j = a и j = b. Отрезки лучей могут вырождаться в точку. Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение. Область определения функции будет

2. Вычисление объемов тел с известными площадями поперечных сечений.

Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства. Будем предполагать, что известны площади сечений этого тела плоскостями х = const. Площадь таких сечений будет функцией от х, S = S(x) Тогда объем такого тела можно вычислить по формуле

.

В частном случае, когда тело получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией y = f(x), a£ x£ b, объем тела вращения вычисляется по формуле

 

Пример.Определитьобъем тела эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса вокруг оси Ох.

Длина дуги кривой в декартовых координатах.

За длину дуги AB, описываемой уравнением y=f(x), причем эта функция имеет на сегменте [a,b] непрерывную производную, принимается предел длины ломаной , когда число звеньев увеличивается до бесконечности и для любых В этом случае длина дуги кривой вычисляется по формуле

 

Пример.Вычислить длину дуги цепной линии для xÎ[ ,1].

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями причем функции j(t) и f(t) имеют на сегменте [a,b] непрерывные производные. Тогда длина дуги кривой L вычисляется по формуле

 

Пример.Найти длину дуги одной арки циклоиды ,

 

 

Если кривая задана уравнением причем функция имеет на сегменте [a,b] непрерывную производную, то длина дуги кривой вычисляется по формуле

 

Пример.Вычислить длину кардиоиды

Решение.Используя симметричность кардиоиды относительно оси Ох, будем вычислять половину длины кардиоиды.

 

l =8a.

Пусть дана кривая АВ уравнением y=f(x), a£ x£ b, и пусть эта кривая представляет собой материальную линию. Это означает, что вдоль кривой распределена масса, линейная плотность которой выражается законом . Линейной плотностью называется масса единицы длины линии. Тогда масса кривой АВ вычисляется по формуле

 

В частности при rº1 числовое значение массы совпадает с длиной кривой.

5. Вычисление моментов и координат центра тяжести плоской кривой.

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек

 

с массами

Статическими моментами массы материальной точки относительно осей Ох и Оу называются произведения (произведения массы точки на расстояние до соответствующей оси). Тогда, как известно из курса теоретической механики, координаты центра тяжести ( ) системы материальных точек определяются формулами:

 

Если кривая АВ задана уравнением y=f(x), a£ x £ b, вдоль которой распределена масса , то, разбивая кривую на n частей и, заменяя каждую часть материальной точкой, для координат центра тяжести получим формулы, аналогичные приведенным. Если теперь перейти к пределу, когда число разбиений увеличивается неограниченно, а сами частичные дуги стремятся к нулю, то, при r º 1, получим формулы:

 

Выражения, стоящие в числителях формул при r º 1, являются статическими моментами (геометрическими моментами) кривой АВ относительно осей Оу и Ох соответственно

 

Пример. Найти координаты центра тяжести полуокружности расположенной выше оси Ох.

Решение. Определим ординату центра тяжести:

 

 

(так как полуокружность симметрична относительно оси Оу).

 

Старший преподаватель Невердовский В.Г.

 

 

Лекция №16

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.

Цель лекции.Дифференциальные уравнения являются важнейшим разделом математики, которые применяются при решении различных практических задач, построении математических моделей. Целью лекции является изучение основных понятий теории дифференциальных уравнений, методов их интегрирования.