Основные свойства неопределённого интеграла.

Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

А
налогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х² + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.
^

1.
Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

[ f(х)dх ]’= f(х) .

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х)dх = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f(х)

Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем

[ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,

откуда

[ f(х)dх ]’ = F’(х) + С¹ = F’(х) = f(х) .

 

2.
Д ифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

d f(х)dх = f(х)dх

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х)dх = F(х) + С

d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

 

3.
Н еопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть

dF(х) = F(х) + С, (v)

Д оказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь

d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)

d(F(х) + С) = dF(х)

с ледовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть

dF(х) = F(х) + С

 

4.
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть

а f(х)dх = а f(х)dх (а¹ 0)

Д оказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим

d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)

и d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

(в силу свойства дифференциала)

Т аким образом, дифференциалы функций

а f(х)dх и а f(х)dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f(х)dх = = а f(х)dх * dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,

а f(х)dх = а f(х)dх.

 

5.
И нтеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₃(х)dх – f₃(х)dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

Дифференцирование любой части равенства даёт:

d [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

d[ f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх] =

= d f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх = [ f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).
^