Составьте структурные формулы и приведите названия изомерных фенолов и ароматических спиртов состава С8Н10О.
1.59
Правило Лопиталя.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением может быть самой точки x0, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
Доказательство:
Доопределим f(x) и g(x) в точке x0, положив
f(x0) = g(x0) = 0.
В окрестности точки x0, т.е. на (x0,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x0, х) такая, что
, т.к. f(x0) = g(x0) = 0.
Перейдем к пределу при x x0 с x0:
.
Ч.т.д.
Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.
Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя, т.е. справедливо следующее утверждение:
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0, за исключением самой точки x0, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.
Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1¥), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа , .
Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.
Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.
.
.
Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).
.
Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.
3. При показательной неопределенности: (00), (1¥), (¥0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.
.
= = =(0×¥)= = = =
= =0;
Þ A=e0=1.
Вопросы для самоконтроля.
1. Сформулировать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.
2 Привести геометрическую интерпретацию теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.
2. Сформулировать для различных случаев правило Лопиталя.
Задачи для самоконтроля.
1. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:
а) ; б) ; в) .
2. Разложить по формуле Тейлора функцию в точке для случая n=4.
Решение типовых задач.
Задача. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:
а)
.
б) .
3. Назовите следующие соединения:
4. Расположите приведенные вещества в порядке уменьшения кислотных свойств: о-крезол, п-бромфенол, 2,4,6-тринитрофенол, фенол. Дайте объяснения.
5. Составьте уравнения реакций в соответствии со схемами превращений, назовите исходные вещества и продукты:
б)
в) пропанол-1 → 1-бромпропан → н-гексан → бензол → изопропилбензол → фенол
г) составьте уравнения реакций получения из бензола о-крезола
д) составьте уравнения реакций получения из бензола метилфенилового эфира (метоксибензола)
е) Напишите уравнения реакций щелочного гидролиза следующих соединений: а) хлорбензол; б) о-нитрохлорбензол; в) 2,4,6-тринитрохлорбензол
6. Какая масса фенолята натрия может быть получена при взаимодействии фенола массой 4,7 г с раствором гидроксида натрия объемом 4,97 мл плотностью 1,38 г/ мл? Массовая доля гидроксида натрия в растворе составляет 35%.
7. При действии избытка натрия на смесь этанола и фенола выделилось 6,72 л водорода (н. у.). Для полной нейтрализации этой же смеси потребовался раствор объёмом 25 мл (р = 1,4 г/мл) с массовой долей гидроксида калия 40%. Определите массовые доли веществ в исходной смеси.
Литература:
1. Н.А.Тюкавкина Органическая химия, 1989 С. 154-163
2. Н.А.Тюкавкина Органическая химия, 2002 г. С. 178-190
3. ОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. Основной курс. Кн.1. Под ред. Н.А. Тюкавкиной С. 363-385