Планиметрия

Неравенства

 

1. Свойства неравенств:

а) при умножении или делении неравенства на положительное число

смысл неравенства не меняется;

б) при умножении или делении неравенства на отрицательное число

смысл неравенства меняется на противоположный;

в) прибавление или вычитание одного и того же числа к каждой части

неравенства не меняет смысла неравенства;

г) замена деления умножением при нулевой правой части:

если , то A∙B < 0;

если , то A∙B > 0;

 

2. Квадратные неравенства a∙x² + b∙x + c < 0 или > 0 при a > 0.

а) D = b² − 4∙a∙c > 0;

x_м , x_б – корни квадратного трехчлена a∙x² + b∙x + c = 0;

если a∙x² + b∙x + c < 0, то одно решение: x_м < x < x_б;

если a∙x² + b∙x + c > 0, то два решения: x < x_м и x > x_б;

б) D = b² − 4∙a∙c < 0;

нет корней;

если a∙x² + b∙x + c < 0, то нет решения, т.е. x Ø;

если a∙x² + b∙x + c > 0, то решение: −∞ < x < +∞;

 

3. Логарифмирование неравенств

если M < N, то

при a > 1 log_aM < log_aN; (смысл неравенства не меняется)

при 0 < a < 1 log_aM > log_aN; (смысл неравенства меняется

на противоположный)

4. Потенцирование неравенств (избавление от логарифмов)

если log_aM < log_aN, то

при a > 1 0 < M < N; (смысл неравенства не меняется)

при 0 < a < 1 M > N > 0; (смысл неравенства меняется

на противоположный)

 

5. Показательные неравенства

если a^M < a^N, то (обязательно a = const;)

при a > 1 M < N (смысл неравенства не меняется)

при 0 < a < 1 M > N (смысл неравенства меняется

на противоположный)

 

6. Модули

если │A│ < 5, то −5 < A < 5;

если │A│ > 7, то A > 7 или A < −7;

если │A│ > −3, то −∞ < A < +∞;

если │A│ < −2, то неравенство не имеет смысла, т.е. A Ø;

= ;

= ;

 

7. Возведение в квадрат возможно только тогда, когда обе части

неравенства положительны.

 

8. Возведение в куб возможно всегда.

 

 

9. График квадратного трёхчлена:

парабола y = a∙x² + b∙x + c;

вершина параболы: точка A(x₀ , y₀)

x₀ = −

y₀ = a∙x + b∙x + c; (подставляем x₀ в уравнение параболы)

направление ветвей параболы:

при a > 0 вверх;

при a < 0 вниз;

точка пересечения с осью oy: при x = 0 y = c;

точки пересечения с осью ox: корни x₁ и x₂;

 

10. График гиперболы (обязательно должно быть m ≠ 0) :

вертикальная асимптота: m∙x + n = 0; x = −

горизонтальная асимптота: y =

точка пересечения с осью oy: при x = 0 y = ; (при n ≠ 0)

если встречается случай n = 0, то гипербола не пересекает ось oy;

точка пересечения с осью ox: a∙x + b = 0; x = − (при a ≠ 0)

если a = 0, то гипербола не пересекает ось ox.

 

11. Разложение квадратного трёхчлена на множители

a∙x² + b∙x + c = a∙(x – x₁)∙(x – x₂),

где x₁ и x₂ – корни трёхчлена;

 

 

12. Некоторые классические неравенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Правильный (равносторонний) треугольник

 

2. Равнобедренный треугольник

a – основание; b – боковая сторона;

 

 

3. Прямоугольный треугольник

a и b – катеты; c – гипотенуза;

теорема Пифагора: a² + b² = c²;

 

 

h² = m∙n ; метрические

m a² = (m+n)∙m ; соотношения

a b² = (m+n)∙n ; в прямоугольном

h n треугольнике

b

 

тригонометрические функции острого угла:

 

c a

α

 

b

 

4. Произвольный треугольник

формула Герона

 

 

медиана

биссектриса

 

α

b c

γ β

a

 

теорема синусов:

теорема косинусов: a² = b² + c² − 2∙b∙c∙cos α;

теорема тангенсов:

 

Средняя линия любого треугольника параллельна основанию и равна его

половине.

 

Число диагоналей выпуклого n-угольника

 

5. Точки в произвольном треугольнике:

а) центр вписанного круга лежит в точке пересечения биссектрис;

б) центр описанного круга лежит в точке пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам;

в) точка пересечения медиан отсекает от каждой медианы ее третью

часть;

г) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром

треугольника.

 

6. Треугольники подобны, если в них равны по два угла.

 

7. Свойство биссектрисы любого треугольника

 

α α

a b

 

m n

 

8. Квадрат

A B AB = BC = CD = AD = a;

d AC = d;

a a d = a∙ ;

D C

 

9. Углы со взаимно параллельными или взаимно перпендикулярными

сторонами равны.

 

10. Трапеция

средняя линия

площадь

 

11. Параллелограмм

площадь S = a∙h = a∙b∙sin α;

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон.

 

12. Площадь выпуклого 4-х угольника равна половине произведения его

диагоналей на синус угла между ними:

S =

 

13. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°∙(n−2);

А сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна 360°;

 

14. Круг

площадь S = π∙R²; длина окружности C = 2∙π∙R;

длина дуги

площадь сектора

площадь сегмента

 

15. Пересекающиеся хорды в круге

 

A AK∙KB = CK∙KD;

K D

C B

16. Касательная и секущая к окружности

A B Если из одной точки к окружности

проведены касательная и секущая, то

C квадрат касательной равен произведению

секущей на её внешнюю часть:

D AB² = BD∙BC;

 

17. Угол, вписанный в окружность, измеряется половиной дуги, на

которую он опирается.

 

18. Если в 4-х угольник произвольной формы вписана окружность, то

суммы противоположных сторон этого 4-х угольника равны.

b

a + c = b + d;

a c

 

d

 

19. Если в окружность вписан 4-х угольник произвольной формы, то

суммы противоположных углов этого 4-х угольника равны и равны

180°, т.е. A + C = B + D = 180°;

Кроме того, справедлива теорема Птолемея:

A В 4-х угольнике, вписанном в круг,

B произведение диагоналей равно

D сумме произведений противоположных

C сторон, т.е. AC∙BD = AB∙CD + BC∙AD;

 

20. Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны.