ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА

Вероятность суммы совместных событий

Независимые события

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, осуществилось или нет событие В.

В этом случае условная вероятность события А при условии В равна безусловной вероятности события А, т. е. выполняется равенство

Р(А | В) = Р(А).

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А. Оба события при этом называются независимыми.

Таким образом, два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).

Эта формула часто используется в качестве определения независимых событий.

События A1, A2, …, An называются независимыми (или независимыми в совокупности), если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий.

В случае п независимых событий имеем

P(A1 ∙ A2 ∙ A3 ∙…∙ An) =P(A1) ∙ P(A2) ∙ P(A3) ∙…∙ P(An).

События A1, A2, …, An называются попарно-независимыми, если любые два события Аi и Аj (i ≠ j) из этого набора независимы.

Независимые события A1, A2, …, An являются попарно-независимыми. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 4.2Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Для трёх событий А, В и С имеем:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

В случае трёх и большего числа событий для нахождения вероятности суммыS этих событий проще найти вероятность противоположного события , а затем воспользоваться равенством P(S) = 1 – P( )

Теорема 5.1Пусть событие А может произойти только с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. и

Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

(5.1)

При этом события H1, H2, …, Hn обычно называют гипотезами, ачисла P(Hi) – вероятностями гипотез.

Теорема 5.2Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние, доопытные (или априорные) вероятности гипотез P(H1),…, P(Hn) должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности P(H1|A),…, P(Hn|A), которые вычисляются по формуле Бейеса:

 

(i = 1, 2,…, п), где вероятность Р(А) вычисляется по формуле (5.1).

Пример 1.45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% – на 2-м, остальные – на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

█Решение. Пусть событие: А = {телевизор выдержит гарантийный срок работы}, а гипотезы H1 = {телевизор изготовлен на 1-м заводе}, H2 = {телевизор изготовлен на 2-м заводе}, H3 = {телевизор изготовлен на 3-м заводе}.

События H1, H2, H3образуют полную группу несовместных событий, при этом ; ; . (Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез; она должна равняться единице )

По условию , .Отсюда по формуле полной вероятности имеем

█

Рис. Схема дорог
Пример 2 На рисунке изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта А, выбирая наугад на каждой развилке дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт B?

 

¼∙¼ + ¼∙½ + ¼∙1 + ¼∙1/3 = 25/48

Пример 3. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

█Решение. Пусть событие A = {устройство отказало}. До опыта, т.е. до отказа устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы-.

H123 = {откажут все три элемента};

H12 = {откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й – не откажет};

H13 = {откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й – не откажет};

H23 = {откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й – не откажет};

H1 = {откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й, 3-й};

H2 = {откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й,3-й};

H3 = {откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й, 2-й};

H0 = {все элементы, будут работать}.

Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:

P(H123) = 0,2 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,024;

P(H12) = 0,2 ∙ 0,4 ∙ 0,7 = 0,056;

P(H13) = 0,2 ∙ 0,6 ∙ 0,3 = 0,036;

P(H23) = 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,096;

P(H1) = 0,2 ∙ 0,6 ∙ 0,7 = 0,084;

P(H2) = 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,7 = 0,224;

P(H3) = 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,3 = 0,144;

P(H0) = 0,8 ∙ 0,6 ∙ 0,7 = 0,336.

(Контроль: = 0,024 + 0,056 + ... + 0,336 = 1.)

Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах H123, H12, H13, H23 и достоверно при гипотезах H1, H2, H3, H0, найдем условные вероятности событий Р(А | Hi):

Р(А | H123) = 1, Р(А | H12) = 1, Р(А | H13) = 1, Р(А | H23) = 1, Р(А | H1) = 0, Р(А | H2) = 0, Р(А | H3) = 0, Р(А | H0) = 0.

Найдем вероятность гипотезы H12 при условии, что событие А произошло (т.е. Р(H12 | А) по формуле Бейеса. Для этого предварительно найдём вероятность события A по формуле (5.1)

 

█