Правило умножения вероятностей
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Аксиоматическое определение вероятности
Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию А (А – подмножество множества Ω) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причём так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):
P(A) ≥ 0; (3.1)
P(Ω) = 1; (3.2)
аксиома сложения: , если , (3.3)
т.е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Из аксиом (3.1)-(3.3) вытекают основные свойства вероятности P( ) = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю,
2 P(A) + P( ) = 1.
3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1 для любого события А.
4. Р(А) ≤ Р(В), если А Í В.
5. , если и
Если множество Ω состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е. ), то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности
где m – число случаев (элементов) ωi, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п – число элементов множества Ω (число всех исходов опыта).
Пример. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом.
1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.
2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.
█Решение. 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде Ω = {Б1, Б2, Б3, Б4, Б5, Ч1, Ч2, Ч3, Ч4}. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {Б1, Б2, Б3, Б4, Б5}.
Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности .
2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б1, Ч1), (Б2, Б3,), (Б3, Б2), (Ч4, Б5) и т.д. Число всех случаев равно .
а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {появление двух белых шаров}, являются (Б1, Б2), (Б1, Б3), (Б3, Б5), (Б3, Б1) и т.д. Число таких случаев равно . Поэтому .
б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {появление хотя бы одного черного шара}, являются (Б1, Ч1), (Б1, Ч2), (Б1, Ч3), (Ч3, Б1), (Ч1, Ч2), (Ч3, Ч4) и т.д. Число таких случаев равно (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров будет черным. Отсюда .Этот же результат можно получить иначе, т.к. , то .█
Пусть А и В –некоторые события, причём Р(В) > 0. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А | В) или PB (A) ) называется вероятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле
Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А
Из этих формул следует
Теорема 4.1 (правило умножения вероятностей).Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В | А) = Р(В) ∙ Р(А | В).
Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения вероятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа событий. А именно, в случае п событийимеем
P(A1 ∙ A2 ∙…∙ An) =P(A1) ∙ P(A2 | A1) ∙ P(A3 | A1A2) ∙…∙ P(An | A1A2 ∙…∙ An–1).