Геометрическое определение вероятности

Классическое определение вероятности

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями

Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.

Множество Ω = {ω} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы ω – элементарными событиями (или«элементами», «точками»).

Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества Ω.

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω, называются благоприятствующими событию А.

Множество Ω называется достоверным событием; ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдёт.

Пустое множество называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.

Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее – подмножествами пространства Ω.

Сумма (или объединение)двух событий А Í Ωи В Í Ω(обозначается А + В или AÈB) – это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А и В.

Произведение (или пересечение) двух событий А Í Ωи В Í Ω(обозначается А ∙ В или AÇB) – это множество, которое состоит из элементов, общих для событий А и В.

Разность событий АÍ В и ВÍ А (обозначается А – В или А \ В) – это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В.

Противоположным событию А Í Ωназывается событие = Ω \А; множество называют также дополнением множества А.

Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А Í В.

По определению Í А для любого А.

События А и В называются несовместными, если ихпроизведение (пересечение) есть невозможное событие, т. е. А ∙ В = .

Несколько событий A₁, A₂, …, A_n образуют полную группу несовместных событий, если ихсумма представляет все ПЭС, а сами события попарно несовместны, т.е. и

Полную группу, в частности, образуют события А и (А + = Ω, А ∙ = Æ).

Операции над событиями (множествами) обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А, А ∙ В = В А (переместительное);

2. (А+В) ∙ С = А∙С+В∙С, А∙В+С = (А +С) ∙ (В +С) (распределительное);

3. (А + В) + С = А + (В + С), (А ∙ В) ∙ С = А ∙ (В ∙ С) (сочетательное);

4. А + А = А, А ∙ А = А;

5. A + Ω = Ω, A ∙ Ω = A;

 

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу п случаев.

 

Такое определение вероятности называется классическим.

Из классического определения следуют свойства вероятности: 0 ≤ Р(А) ≤ 1; P( )= 0; P(Ω) = 1; P( ) = 1 – P(A); Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А ∙ В = .

Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчётным) числом исходов является понятие «геометрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчёт вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т.д.).

Пусть пространство элементарных событий Ω представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Ω.

Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области Ω, называется геометрической вероятностью события А и находится формуле

 

где S(А) и S(Ω) площади областей А и Ω соответственно.

Случай, когда Ω представляет собой отрезок или трёхмерную область, рассматривается аналогично ( и соответственно).