Кинетическая энергия точки и системы материальных точек. Теорема Кенига.

Кинетическую энергию материальной точки массой m, движущейся с абсолютной скоростью , определяют по формуле

где

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех точек этой системы

Теорема Кенига.

Кинетическая энергия механической системы в её абсолютном движении равна сумме кинетической энергии центра масс, в предположении, что в нём сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

Рассмотрим движение механической системы в неподвижной системе отсчета Oxyz. В качестве подвижной выберем систему CXYZ с началом в центре масс, движущуюся поступательно вместе с центром масс. Абсолютное движение механической системы при этом можно рассматривать как совокупность переносного (вместе с ЦМ) и относительного (по отношению к ЦМ) движений системы.

Для любого момента времени положение произвольной точки по отношению к неподвижному центру О

где - радиус-вектор точки по отношению к ЦМ. Продифференцируем и найдем абсолютную скорость:

Учитывая, что квадрат вектора равен квадрату его модуля,

Здесь

поскольку сумма статических моментов масс точек относительно центра масс

Таким образом

где - масса механической системы.

20. Кинетическая энергия твёрдого тела в различных случаях его движения.

 

При поступательном движении твёрдого тела скорости всех его точек одинаковы и равны скорости центра масс, поэтому

 

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси скорость его произвольной точки

- кратчайшее расскояние от точки

Тогда

При плоском движении твёрдого тела относительная скорость произвольной точки и, следовательно, согласно формуле Кенига

При сферическом движении твёрдого тела скорость произвольной точки определяется формулой Эйлера

преобразуем формулу

С учетом

кинетическую энергию твёрдого тела при сферическом движении можно записать

Если оси Oxyz направить по главным осям инерции тела для точки О, то

В общем случае движения свободного твёрдого тела в пространстве, которое можно рассматривать как совокупность поступательного переносного движения вместе с центром масс и сф. движения по отношению к этому центру, относительная скорость произвольной точки тела и, следовательно, кинетическая энергия тела