Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений
Опр Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (НСОДУ) называется система вида 
, где функции 
непрерыв ны на открытом множестве 
, а последовательность неизвестных функций 
называется решением системы. Число 
называется порядком НСОДУ.
Опр Если - решение НСОДУ в окрестности точки 
, то кривая в 
называется интегральной кривой.
Опр Пусть 
. Задачей Коши для НСОДУ с начальными условиями
называется задача нахождения решения системы в окрестности точки ,
которое удовлетворяет этим условиям.
ПримерРешение задачи Коши для ОДУ 
го порядка 
с начальны ми условиями 
равносильно нахождению решения задачи Коши для НСОДУ 
с начальными условиями 
.
◄ В ОДУ го порядка введем новые переменные
Кроме того, дифференцируя эти равенства, получим требуемую систему. ►
Опр Функция 
удовлетворяет условию Липшицапо переменным 
на множестве 
, если 
ЗАМЕЧАНИЕ Если функция дифференцируема в каждой точке области 
, то она удовлетворяет условию Липшица на любом ограниченном замкнутом множестве (компакте) из 
. Если удовлетворяет условию Липшица, то она непрерывна по совокупности переменных 
в каждой точке из .
ТЕОРЕМА 1 Пусть функции 
непрерывны на открытом множестве и удовлетворяют условию Липшица по на любом компакте в . Тогда 
в окрестности точки существует единственное решение задачи Коши для НСОДУ с начальным условием 
. Если отказаться от условия Липшица, то решение задачи Коши существует, но оно, вообще говоря, неединственное. (Без доказательства)
_____
Опр Нормальной системой линейных дифференциальных уравнений(НСЛДУ) называется система вида 
или в матричной форме 
где 
- искомое решение на 
; 
; 
- матрица непрерывных на коэффициентов; 
- матрица непрерывных на свободных членов.
Опр НСЛДУ называется однородной, если 
, и неоднородной в противном случае.
ОпрПоследовательность решений 
однородной
НСЛДУ 
называется фундаментальной системой, если 
векторы 
линейно независимы.
ОпрОпределитель и матрица 
называются соответственно вронскианом и фундаментальной матрицей (матрицей Вронского) НСЛДУ.
Последняя есть пример функциональной матрицы.
Опр Производной функциональной матрицы 
называется функцио нальная матрица 
; интегралом функциональной матрицы 
на отрезке 
называется числовая матрица 
.
Пример 
.
ЗАМЕЧАНИЕ1) Постоянную матрицу-множитель 
можно выносить за знак инте грала и производной: 
, 
. 2)
ТЕОРЕМА 2(Свойства решений НСЛДУ) 1)
существует един ственное решение на задачи Коши с начальным условием 
2) Систем решений 
фундаментальна на тогда и только тогда, когда 
;
3) Если система решений фундаментальна на , то общее решение однородной НСЛДУ 
имеет вид 
.
4) Если 
- какое-либо (частное) решение неоднородной НСЛДУ, то общее (любое) решение этой НСЛДУ имеет вид 
,
где 
- фундаментальная система.
5) Eсли известна фундаментальная система , то частное решение неодно родной НСЛДУ можно вычислить по формуле
, а решение задачи Коши с начальным условием - по формуле Коши 
, где 
.
ОпрЕсли 
- фундаментальная матрица НСЛДУ, то матрица 
называется переходной матрицей этой системы.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) Переходная матрица является решением задачи Коши для матричного уравнения 
с функциональной матрицей 
размера 
и начальным условием 
, где 
есть единичная матрица.
2) Переходная матрица не зависит от выбора фундаментальной системы и полностью
определяется матрицей коэффициентов 
НСЛДУ.
3) В обозначениях переходной матрицы формула Коши принимает вид
_____
Опр Линейным дифференциальным уравнением -го порядка (ЛДУ)называется ОДУ вида 
, (1)
где функции 
непрерывны на . ЛДУ называется однородным, если 
и неоднородным в противном случае.
Опр Последовательность решений однородного ЛДУ -го порядка называется линейно независимой на , если не существует такой ненулевой -ки чисел 
, что на 
.
Опр Определителем Вронского и фундаментальной матрицей однородного ЛДУ называются соответственно 
,
где 
есть последовательности линейно независимых решений (фундаментальная последовательность решении ЛДУ).
ЗАМЕЧАНИЕ Несложно показать, что линейная независимость последовательности решений ЛДУ (1) равносильна тому, что последовательность соответствующих решений 
ассоциированной с (1) НСЛДУ 
,
является фундаментальной. Поэтому прямым следствием теоремы 2 является
ТЕОРЕМА 3(свойства решений ЛДУ -го порядка) 1) 
задача Коши с начальным условием 
имеет единственное решение на .
2) Решения 
однородного ЛДУ линейно независимы на тогда и только тогда, когда 
.
3) Если - фундаментальная последовательность решений однородного ЛДУ, то любое (общее) его решение имеет вид 
4) Если 
-какое-либо решение ЛДУ (1) и - фундаментальная последовательность решений, то любое (общее) решение ЛДУ можно записать в виде 
.
5) Если известна фундаментальная последовательность , то решение задачи Коши для уравнения (1) можно искать по формуле Коши для этого уравнения
, где 
есть алгебраическое дополнение соответствующего элемента фундаментальной матрицы 
.
_____
Опр Характеристическим многочленом матрицы 
мы называется многочлен -ой степени 
. Нули этого многочлена 
порядков соответственно 
назывались собственными числами матрицы 
. Ненулевые решения, вообще говоря комплекснозначные, СЛАУ 
называются собственными векторами матрицы .
ЗАМЕЧАНИЕПусть дана НСЛДУ с постоянными коэффициентами
,
и собственные числа 
ее матрицы коэффициентов попарно различны и вещественны. Обозначим 
, соответствующие им собственные векторы. Тогда:
1) общее решение однородной НСЛДУ имеет вид 
;
2) матрица 
является фундаментальной, и решение задачи Коши однородной НСЛДУ находится по формуле 
;
3) частное решение НСЛДУ ищется методом вариаций в виде 
, где 
есть решение системы дифференциальных уравнений 
.