Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
Опр Ряд по степеням называется сходящимся на множестве , если сходятся ряды . В противном случае ряд называется расходящимся.
ТЕОРЕМА 10.5(свойства функциональных рядов)
1) Если существует или , то степенной ряд равномерно сходится внутри круга и расходится в каждой точке вне его замыкания ; кругназывается кругом сходимости, а число - радиусом сходимости степенного ряда. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.
2) Пусть функция голоморфна на окружности . Положим
.
Пусть существуют пределы . Тогда ряд по степеням ( ряд
Лорана функции ) сходится к равномерно внутри кольца
, и имеет на каждой компоненте его границы особые точки.
Пр 1 Целая функция разлагается в ряд Маклорена во всей комплексной плоскости.
Пр 2 .
_____
Опр Особая точка аналитической функции называется изолированной особой точкой однозначного характера (ИОТОХ), если аналитична в некоторой проколотой окрестности .
Опр ИОТОХ называется полюсом функции, если . Полюс называется полюсом порядка , если существует конечный и не равный нулю предел . Полюс первого порядка называется простым.
Пр Функция , имеет полюс порядка в точке .
ЗАМЕЧАНИЕПусть функция имеет ИОТОХ в . является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана имеет конечное число членов.
_____
Опр Пусть - ИОТОХ функции . Вычетом этой функции в точке называется число , где - замкнутая спрямляемая жорданова кривая, охватывающая , причем ее внутренность должна оставаться слева при обходе точки по контуру .
ЗАМЕЧАНИЕВ силу теоремы Коши 10.4.2вычет не зависит от выбора.
ОпрПусть КЗФнепрерывна на . Если существует конечный предел
, то он называется интегралом в смысле главного значении.
ТЕОРЕМА 10.6 (свойства вычетов)
1) Если , то . Если , то .
2) (основная теорема о вычетах) Если аналитическая в односвязной области за исключением ИОТОХов , - спрямляемая замкнутая жорданова кривая в , охватывающая , то .
3) Пусть у рациональной функции и не имеет нулей на прямой . Тогда
,
- нули , лежащие в соответствующей полуплоскости.
4) Если - полюс порядка функции , то .
5) Пусть в окрестности , функции аналитична в , и
имеет простой нуль в точке . Тогда точка является простым полюсом функции и .
Пр 1 Вычислим интеграл. Так как подынтегральная функция имеет простой полюс в точке и полюс второго порядка в точке внутри контура интегрирования, то по основной теореме о вычетах и пунктам 4, 5 теоремы имеем
.
Пр 2 Вычислим интеграл , который является обратным
преобразованием Фурье функции (смотри §8.3). При по пункту 3
теоремы имеем
.
При .
В целом, .