Аналитические и их физический смысл.

Опр (Коши,1821) Пусть . Отображение называется функцией комплексного переменного (ФКП).

Опр Пусть - предельная точка множества . Число называется пределом функции в точке , если . Пусть - предель ная точка множества и . Функция называется непрерывной в точке , если

.

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть функция определена в окрестности точки и принимает значения в . Тогда она непрерывна в точке , если и только если отображение непрерывно в точке .

Пр ФКП непрерывна в области , так как непрерывна как функция двух вещественных переменных.

ТЕРЕМА 10.2(критерий дифференцируемости ФКП в точке) Пусть функция комплексного переменного определена в окрестности точки . Тогда равносильны утверждения: 1) дифференцируема в точке ;

2) отображение дифференцируемо в точке , удовлетворяет в ней уравнениям Коши-Римана: , .

ЗАМЕЧАНИЕУравнения Коши-Римана в полярной системе координат имеют вид .

СЛЕДСТВИЕЕсли дифференцируема в точке , то ее производную можно вычислять по формуле .

____

Опр ;

(Эйлер, 1749,1762);

;

.

Опр Функция комплексного переменного называется целой, если она дифференцируема в каждой точке плоскости .

ТЕОРЕМА 10. 31) Функция целая -периодическая и не имеет нулей в плоскости .

2) Функции целые -периодические и

.

3) Функция дифференцируема в каждой точке из кроме точек ; функция

дифференцируема в каждой точке из кроме точек ;

4) Функция дифференцируема в каждой точке плоскости с разрезом и является обратной к функции в полосе ;

5) Функция , является дифференцируемой в плоскости с разрезом ;

6) Функция целая и не имеет нулей в .

Пр 1 .Пр 2 .

____

Опр Функция комплексного переменного называется аналитической в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой -окрестности . Точка, в которой не аналитическая, называется особой точкой функции.

Праналитическая в любой точке кроме .

Опр Функция называется аналитической (голоморфной) в области , если она аналитична в каждой точке этой области.

ЗАМЕЧАНИЕ От греч. - целый + - форма. Термин ввели Брио и Буке (середина ХIХ века). Термин «аналитическая функция» - Кондорсе.

Опр(Коши). Функция называется аналитической (голоморфной) на замкнутом множестве , если она аналитична в некоторой области, содержащей .

ЗАМЕЧАНИЕ(физический смысл аналитической функции) Пусть в материальной односвязной плоской области известна напряженность электростатического поля , порождаемого зарядами, сосредоточенными на границе . Тогда

существует аналитическая в функция , которая называется комплексным потенциалом электростатического поля, и которая обладает свойствами:

1) ; 2) линии уровня совпадают с силовыми линиями этого поля; 3) линии уровня совпадают с эквипотенциальными

линиями поля.