Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке.

 

σ-один индекс, соответствует осям x,y,z.

τ-два индекса: первый ось перпендикулярная кплощадке, второй-ось вдоль, которой направлено τ.

Система сил, приложенных к элементу, должна удовлетворять условиям равновесия .

Первые три условия равновесия удовлетворяются тождественно, поскольку на противоположных гранях возникают обратные по знаку силы. Равенство нулю суммы моментов относительно осей соблюдается в том случае, если равны нулю моменты от касательных усилий: mx=0; τyz dxdydz=τzydxdydz.

Аналогично записываются еще два уравнения.

Из них получаем: τyz=τzy; τzx=τyz; τxy=τyx т.е. на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра – закон парности касательных напряжений.

На гранях выделенного элемента имеется не девять, а шесть независимых компонентов напряжений.

Напряжения на площадке общего положения.

Если заданы шесть компонентов напряженного состояния σx,σy,σz,τyz,τzx,τxy в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через заданную точку.

X,Y,Z-проекции на оси x,y,z вектора полного напряжения на площадке общего положения ВСD.

Пусть: площадьВСД обозначимА, тогда площади:АСД - Аx; АВД - Аy;

АВС - Аz.

Из рисунка: Аx = Аl; Аy = Аm;

Аz = Аn, где l,m,n- направляющие косинусы нормали υ.Проектируя все силы на оси x,y,z , подставляя значения Аx, Аy Аz и сокращая получим :

Напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами.

Главные оси и главные напряжения.

Равнодействующая составляющих X,Y,Z на наклонной площадке называется полным напряжением и определяется как геометрическая сумма составляющих p=. Разложим его на нормальную и касательную составляющие. Тогда σ= Xl+Ym+Zn. Подставляя сюда (3) получим :

(а)

Из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат уравнение (а) можно преобразовать таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат или в данном случае направляющих косинусов, или иначе говоря обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений.

Это значит, что в каждой исследуемой точке напряженного тела существует такая система осей x,y,z, в которой касательные напряжения τyz, τzx, τxy равны нулю. Такие оси называются главными осями, а нормальные напряжения в них-главными напряжениями. В порядке уменьшения они обозначаются σ1, σ2, σ3 .

Определим величины главных напряжений по заданным значениям шести компонентов напряженного состояния в произвольной системе x,y,z.

Пусть наклонная площадка будет главной. Тогда полное напряжение на этой площадке (главное напряжение) σ - будет направлено по нормали υ и соответственно его составляющие определятся:

X=σl, Y=σm, Z=σn. Тогда соотношения (3) примут вид :

или

(а)

 

Эта система уравнений относительно неизвестных l,m,n определяет ориентацию главной площадки в системе исходных заданных осей x,y,z.

Полученная система является однородной и должна давать ненулевое решение поскольку направляющие косинусы не могут быть все одновременно равны нулю и должно соблюдаться условие: l2+m2+n2=1.

Для того, чтобы система уравнений (а) имела решение отличное от нуля, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

Раскрыв определитель получим кубическое уравнение:

(a) σ3–σ2I1+σI2-I3=0 , где

I1=σx+ σy + σz ,

I2=σx σy+ σyσz+ σz σx+ τxy2+ τyz2+ τzx2.

I3=.

Кубическое уравнение (a) дает три корня, которые и будут главными напряжениями σ1, σ2, σ3. Главные напряжения определяются характером напряженного состояния и не зависят от положения координатных осей.

При повороте осей x, y, z коэффициенты I1,I2,I3 не изменяются, поэтому они называются инвариантами напряженного состояния.

В некоторых случаях инварианты могут принимать нулевые значения. Например, если I3=0, то один из корней равен нулю и в этом случае имеем двухосное или плоское напряженное состояние.

Если I2=I3=0, то уравнение имеет два нулевых корня, а напряженное состояние называется одноосным.

Лекция 13. Экстремальные касательные напряжения.

Пусть заданы главные напряжения, действующие по граням элемента, образованного главными площадками и требуется определить напряжения на площадке наклоненной к главным площадкам.

Пусть площадка параллельна направлению действия главного напряжения σ2.

Рассмотрим условия равновесия треугольной призмы.

Проектируя все силы, действующие на призму на оси, совпадающие с векторами σ и τ преобразуя получим:

Аналогично можно определить напряжения на площадках параллельных осям x и z. Из выражений и видно, что нормальные напряжения σ достигают экстремума при 2α = 0; 180˚, т.е. когда площадка параллельна направлениям σ2 и σ3 или перпендикулярна напряжению σ1, т.е. является главной площадкой.

Из второй формулы видно, что τ = τmax при sin2α = 1 или когда α = 45˚, 135˚.

Т.е. τmax =

Наибольшие касательные напряжения возникают в площадке, равнонаклоненной к площадкам максимального и минимального из главных напряжений. Во всех других площадках касательные напряжения будут иметь меньшие значения т.к. σ1>σ2>σ3.

Плоское напряженное состояние.

Частный случай объемной задачи - плоское напряженное состояние, когда все напряжения действуют в одной плоскости.

По аналогии с объемной задачей запишем определитель системы уравнений для главной площадки:

Раскрывая получим: σ2 – I1 σ +I2 = 0, где

I1 =σx+ σy,

I2 =σx σy – τxy2, -инварианты напряженного состояния.

I3 = 0.

 

Решение квадратного уравынения даст главные напряжения:

Деформированное состояние в точке.

Существует математическая аналогия законов распределения напряжений и деформаций в точке.

Для определения главных деформаций ε1, ε2 ,ε3 соответствующих главным напряжениям σ1, σ2, σ3 необходимо составить кубическое уравнение, аналогичное напряженному состоянию:

 

Где I1, I2, I3 инварианты деформированного состояния:

 

 

Для плоской деформации имеем:

Корни уравнения и будут главными деформациями:

.

Тема 15. Теория предельных напряженных состояний.

Предельные состояния материала.