Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида y=ax+b.

Если b=0, то у=ax: у прямо пропорционально х.

Свойства у=ax:

1. D(y)=R

2. y(-x)=-ax=-y(x), следовательно функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. х=0, то у=0, следовательно график проходит через начало координат.

Проведем через начало координат прямую линию под углом к оси Ох так, что tg=a. Докажем, что эта прямая и является графиком функции. Для этого следует установить два положении: 1) любая точка этой прямой есть точка графика функции; 2) любая точка графика функции лежит на построенной прямой.

1. M₀(x₀;y₀). y₀ = tg∙x₀, tg= , следовательно, y₀ = ax₀, следовательно точка лежит на графике функции.

2. Пусть для некоторой точки M₀(x₀;y₀) выполняется равенство y₀ = ax_0, то есть =tg. То есть прямая, соединяющая эту точку с началом координат, наклонена к оси Ох под углом , то есть совпадает с построенной прямой. Ч.т.д.

Итак, график функции y=ax – есть прямая, проходящая через начало координат под углом (tg) к оси Ох.

а – угловой коэффициент прямой.

Если а>0, то– I и III координатная четверть

a<0, то– II и IV координатная четверть

а=0 – прямая совпадает с осью Ох.

График функции у= ах+b получается из графика функции у=ах сдвигом на |b| единиц вверх при b>0 или вниз при b<0. Если x=0, то у=b, следовательно, график пересекает ось Оу в точке (0;b).

Вывод: графиком линейной функции является прямая линия, пересекающая ось Оу в точке (0;b) и наклоненная к оси Ох под углом, тангенс которого равен а.

y=ax+b, а – угловой коэффициент, b – начальная ордината.

a<0 функция убывает; а>0 функция возрастает; а=0 функция постоянна.