I – Начало суммы (аргумент функции), то есть, ничто иначе, как начальный шаг, который в данном конкретном случае равен k.
I – Начало суммы (аргумент функции), то есть, ничто иначе, как начальный шаг, который в данном конкретном случае равен k.
f(i) – какая-либо функция, зависящая от аргумента i, который в нашем случае равен k. Переменная i после каждого предыдущего сложения будет увеличиваться на единицу, пока значение в i не достигнет N. Этот принцип был исконно заложен в этот символ с самого его появления. Теперь же рассмотрим, чему же будет равна наша сумма в этом случае:
∑ = f(i) + f(i+1) + f(i+2) + f(N)
Рассмотрим частный случай суммы. Будем складывать все нечетные натуральные числа до N равного 5. Для начала присвоим всем имеющимся переменным суммы нужные значения для решения нашей задачи.
Мы ограничимся 5 нечетными слагаемыми, и поэтому:
N = 5
Функция f(i) будет преобразовывать аргумент i в нечетное число.
f(i) = (i*2 – 1)
Начальному значению i мы присвоим единицу:
i = 1
Теперь расставим полученные данные исходя из принципа знака суммы:
∑ = (2*1 – 1) + (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)
Таким образом, мы получили всего 5 СЛАГАЕМЫХ = от i до N (от 1 до 5) , которые составлены с помощью функции, преобразовывающей i, которая в свою очередь с каждым слагаемым увеличивается на единицу, в нечетное число.
Если же присвоить i вместо 1 любое другое натуральное число, например 2, то мы получим всего 4 слагаемых, поскольку счет начнется сразу со второго нечетного натурального числа – 3, минуя 1. Например:
∑ = (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)
Также функция может указывать на конкретный элемент какого-либо множества. Например рассмотрим множество натуральных чисел - N { 1, 2, 3 … n }
Если мы хотим сложить все элементы этого множества друг с другом, нам потребуется указать конкретный элемент этого множества N, например
Мы знаем, что первый элемент множества N равен 1, второй – 2, и n-ый – n.
Функция в таком случае будет передавать аргумент, который будет использоваться в качестве указания элемента какого-либо множества –
f(i) = И теперь возможно составить сумму этих элементов множества N:
∑ = 1 + 2 + 3 … + n
Таким образом, наша формула будет суммировать множество натуральных чисел до бесконечности. То есть, эту сумму можно назвать никак иначе, как сумма множества натуральных чисел.
В произведении ∏ все выполняется аналогичным образом с одним лишь отличием: вместо суммы это будет произведение. Рассмотрим на примере того же множества натуральных чисел N:
∏ = 1 * 2 * 3 … * n
Что считается произведением множества натуральных чисел.
f(i) – какая-либо функция, зависящая от аргумента i, который в нашем случае равен k. Переменная i после каждого предыдущего сложения будет увеличиваться на единицу, пока значение в i не достигнет N. Этот принцип был исконно заложен в этот символ с самого его появления. Теперь же рассмотрим, чему же будет равна наша сумма в этом случае:
∑ = f(i) + f(i+1) + f(i+2) + … + f(N)
Рассмотрим частный случай суммы. Будем складывать все нечетные натуральные числа до N равного 5. Для начала присвоим всем имеющимся переменным суммы нужные значения для решения нашей задачи.
Мы ограничимся 5 нечетными слагаемыми, и поэтому:
N = 5
Функция f(i) будет преобразовывать аргумент i в нечетное число.
f(i) = (i*2 – 1)
Начальному значению i мы присвоим единицу:
i = 1
Теперь расставим полученные данные исходя из принципа знака суммы:
∑ = (2*1 – 1) + (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)
Таким образом, мы получили всего 5 СЛАГАЕМЫХ = от i до N (от 1 до 5) , которые составлены с помощью функции, преобразовывающей i, которая в свою очередь с каждым слагаемым увеличивается на единицу, в нечетное число.
Если же присвоить i вместо 1 любое другое натуральное число, например 2, то мы получим всего 4 слагаемых, поскольку счет начнется сразу со второго нечетного натурального числа – 3, минуя 1. Например:
∑ = (2*2 – 1) + (2*3 – 1) + (2*4 – 1) + (2*5 – 1)
Также функция может указывать на конкретный элемент какого-либо множества. Например рассмотрим множество натуральных чисел - N { 1, 2, 3 … n }
Если мы хотим сложить все элементы этого множества друг с другом, нам потребуется указать конкретный элемент этого множества N, например
Мы знаем, что первый элемент множества N равен 1, второй – 2, и n-ый – n.
Функция в таком случае будет передавать аргумент, который будет использоваться в качестве указания элемента какого-либо множества –
f(i) = И теперь возможно составить сумму этих элементов множества N:
∑ = 1 + 2 + 3 + … + n
Таким образом, наша формула будет суммировать все элементы множества натуральных чисел до бесконечности. То есть, эту сумму можно назвать никак иначе, как сумма ВСЕХ элементов множества натуральных чисел.
В произведении ∏ все выполняется аналогичным образом с одним лишь отличием: вместо суммы это будет произведение. Рассмотрим на примере того же множества натуральных чисел N:
∏ = 1 * 2 * 3 * … * n
Что считается произведением множества натуральных чисел.