Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Энергия электрического поля

Основные понятия, законы, соотношения

Электростатическая индукция. Распределение заряда на проводнике.

Вектор электрического смещения D . Поляризованность Р. Теорема Гаусса. Условия на границе раздела двух сред.

Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии
электрического поля.

[1] т. 2 §§ 12-15,18-23; [ 2 ] §§ 88-90, 92-95.

Основная задача электростатики - расчет поля при наличии проводника решается с помощью метода суперпозиции и метода зеркальных изображений.

Идея метода зеркальных изображений заключается в том, что ищется другая задача - такая, которая решается просто и решение которой может быть использовано. Например, необходимо рассчитать поле, созданное точечным зарядом q, находящимся около безграничной проводящей плоскости (рисунок За). В этом случае можно использовать решение задачи с двумя точечными зарядами q и -q. Поле этой системы известно, его эквипотенциали и линии вектора Е показаны на рисунке 3б. Если совместить со средней эквипотенциальной поверхностью (её потенциал φ= 0) проводящую плоскость и убрать заряд - q, то поле в верхнем полупространстве останется прежним (рисунок Зв).

Рисунок 3

Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд - «изображение» данного заряда (-q), противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктивный заряд q создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд (-q) заменяет собой "действие" всех индуцированных зарядов.

При расчете поля в диэлектриках используют следующие два метода. Первый метод основан на принципе суперпозиции. Здесь сначала рассчитывают поле свободных, или (как иногда их называют) «сторонних», зарядов Е₀. Затем определяют поле связанных зарядов E'. И, наконец, напряженность поля Ев диэлектрике в соответствии с принципом суперпозиции, находят как сумму Е = Е₀ + Е'.

Второй метод основан на применении теоремы Гаусса, с помощью которой находят вектор электрического смещения D, затем определяют напряженность электрического поля Е. Использование теоремы Гаусса в интегральной форме для расчета полей эффективно в тех случаях, когда поле обладает специальной симметрией. Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было подобрать сферическую или цилиндрическую замкнутую поверхность, вычисление потока электрического смещения сквозь которую свелось бы к умножению D(или Е) на площадь S этой гауссовойповерхности (или ее части).

Метод Гаусса предполагает поэтапное выполнение следующих действий:

1) определить, исходя из симметрии заданного распределения сторон
них зарядов, конфигурацию линий вектора D (или Е);

2) подобрать форму и размеры замкнутой поверхности с учетом симметрии поля;

3) изобразить на рисунке линии вектора Dи вспомогательную поверхность;

4) выразить поток электрического смещения Ф_D сквозь эту поверхность через значение модуля D (или Е) в точках на выбранной поверхности и ее (поверхности) параметры (т.е. радиус, длину и т.п.);

5) найти суммарный сторонний заряд Q, охватываемый этой поверхностью, т.е. находящейся внутри нее;

6) на основании теоремы Гаусса составить уравнение, приравняв поток Ф_D найденному заряду Q, и найти электрическое смещение D(r) или
D(x) (в зависимости от симметрии поля).

Пример 10.

Два бесконечно длинных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусов R₁ и R₂ равномерно заряжены с поверхностными плотностями зарядов σ₁и σ₂ Пространство между цилиндрами заполнено однородным и изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Определить напряженность Ево всех точках поля.

Решение.

1) Сторонние заряды в рассматриваемой физической системе распределены равномерно на двух цилиндрических поверхностях, имеющих общую ось. Эта ось и является осью симметрии. Исходя из симметрии системы можно заключить, что как напряженность Е, так и смещение Dнаправлены радиально, а их модули зависят от одной координаты - расстояния r точки поля до оси.

2) Вспомогательную (гауссову) поверхность выберем в форме цилиндра произвольного радиуса r и длины ℓ, коаксиального с заданным цилиндром (рисунок 4)

Рисунок 4 Рисунок 5

3) На рисунке 5 изображена картина линий вектора электрического смещения D для случая, когда внутренний цилиндр заряжен положительно, а внешний - отрицательно (σ₂ < 0).

4) Поток электрического смещения сквозь выбранную поверхность в нашем случае равен:

Ф_D = D(r)·2πrℓ, (6.1)

здесь учтено, что линии вектора D пронизывают только цилиндрическую часть поверхности (по радиальным линиям), а через торец вспомогательного цилиндра поток равен нулю, т.к. линии поля лишь скользят вдоль, но не пронизывают его.

5) Величина стороннего заряда Q, охватываемого гауссовой поверхностью, равна:

а) Q = 0, если r < R₁ (точка А на рисунке 4);

б) Q = σ₁·2πRℓ , если R₁≤ r ≤ R₂ (точка B);

в) Q = (σ₁·R₁+ σ₂·R₂)·2πℓ, если r ≥ R₂ (точка С).