Основные элементарные функции и их графики.

Понятие функции. Способы задания функции.

Понятие функции является одним из основных понятий современной математики. С этим понятием часто встречаются при изучении реальных процессов в природе, науке и технике. Понятие функции не является раз и навсегда данным. Это понятие возникло в XVIII веке и прошло сложный и трудный путь развития, на каждом этапе которого определялось по разному. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления реального мира.

Определение1. Переменная величина y называется функцией от переменной величины х, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины х соответствует единственное вполне определенное значение величины у.

Это определение в общих чертах было сформулировано гениальным русским математиком Н. И. Лобачевским

y=f(x), y=F(x)-функциональная зависимость х и у.

f, F - характеристики функции, х - независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.

Пример: область определения функции

Чтобы наглядно представить поведение функции, строят ее график , рассматривая независимую переменную х и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки М на плоскости ХОУ.

Определение 2. Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек М(х,у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Или иными словами говоря, график функции – линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию. Например, х²+у²=4, у≥0

 

Рассматривают три способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1.Аналитический.

Способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.

y = tgx² + 5, S = 4πR² , y=kx.

Этот способ является основным в мат. анализе, но на практике не удобен.

2. Табличный способ задания функции.

Функцию можно задать с помощью таблицы, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции.

3. Графический способ задания функции.

Функция у=f(х) называется заданной графически, если построен ее график. Такой способ задания функции дает возможность определять значения функции только приближенно, так как построение графика и нахождение на нем значений функции сопряжено с погрешностями.

В математике часто обращаются к графической иллюстрации функции. Из трех рассматриваемых способов задания функции основным является аналитический способ.

 

 

3. Основные свойства функций.

а) Монотонные функции.

у

Определение 1. Функция у=f(х) называется монотонно возрастающей, если большему значению аргумента, соответствует большее значение функции, т.е. из неравенства х₂>х₁ следует f(х₁) > f(х₂).

		х

 

Х2

Х1

y

Определение 2. Монотонно убывающая:х₂>х₁,f(х₁)< f(х₂).

 

 

б) Ограниченные и неограниченные функции.

Определение 3. Функция у=f(х) называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что f(х)≤М для любого х.

Определение 4. Функция у=f(х) называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что f(х)≥m для любого х. Функция у=f(х) называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу, т.е. если существуют такие числа m и М, что при любых значениях х выполняются неравенства : m ≤f(х)≤М

y

Если чисел m и М не существует, то функция называется неограниченной.

 

 

Пример : y=sinx, y=cosx - ограниченные, y=tgx и y=ctgx неограниченные.

в) При построении графиков функций важно учитывать симметрию графика и периодичность.

Определение 5. Функция у=f(х) называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, то есть f(-х)= f(х).

График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Определение 6. Функция у=f(х) называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный f(-х)= -f(х).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Определение 7. Функция у=f(х) называется периодической, если существует положительное число Т (период функции) такое, что f(х+Т)= f(х).

 

 

 

Определение : Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Графики основных элементарных функций и их свойства приведены в таблице.

Функция называется явной, если она задана формулой, правая часть которой не содержит зависимой переменной.

у=3х² – 5х + е^х

у=f(х) (1).

Функция называется неявной, если она задана уравнением не разрешенным относительно зависимой переменной.

х²+у²=R², F(x;y)=0 (2).

Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых уравнение (2), имеет хотя бы один действительный корень у, представляет собой область существования соответствующей неявной функции.

х²+у² +R² =0.

у2= -х² -R² (действительных значений нет )

Понятие обратной функции

Пусть у есть функция от аргумента х.

у=f(х) (1).

Если считать у – аргументом, а х – функцией, то х называется обратной функцией по отношению к у.

х=φ(у) (2).

у= f[(φ(у))] (3).

Иногда придерживаются стандартных обозначений у=φ(х)..

Функции у=а^х и у=log_ах –обратные .

Ниже изображены их графики.

 

 

у

 

 

Сложная функция.

Пусть функция у=f(u) есть функция от переменной u, а переменная u в свою очередь является функцией от переменной х и=φ(х), тогда у= f[(φ(х))] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

 

5. Применение функций в экономике.

 

Понятие функции является центральным для всей математики. Самой простой и наиболее часто используемой является линейная функция у=кх+в.

Если функция возрастает с ростом х, то угловой коэффициент положителен (к>0). Если значение функции убывает с ростом х, то угловой коэффициент отрицателен (к<0). Чем больше угловой коэффициент к, тем быстрее изменяется линейная функция.

Предположим, что некоторая фирма производит продукцию, которую продает по цене 100 у. ед. за одну штуку. Ежедневные продажи составили 20, 30, 15, 10, 18 штук Подсчитаем ежедневный доход 2000, 3000, 1500, 1000, 1800. Если дневной объем продаж обозначить через х, а соответствующий доход через у, то связь выразится простой формулой у=100х.

Функции находят широкое применение в экономической теории и экономике. Микроэкономика занимается анализом деятельности отдельных звеньев хозяйственной системы.

Это могут быть отдельные фирмы, предприятия, рынки конкретных видов товаров и услуг и т.п. Одним из важнейших вопросов микроэкономики является изучение взаимодействия спроса и предложения. Спрос на данный товар – это потребность в определенном количестве товара, ограниченная действующими ценами и платежеспособностью потребителя. Предложение можно определить как количество товара, которое может быть предоставлено на рынке для продажи по данной цене. Выпуск дополнительной продукции требует дополнительных затрат. Чтобы заинтересовать к этому производителя, надо предложить ему повышенную цену, т.е. предложение является функцией цены.

S=f(p).

S-(supply) предложение, P-(price) цена.

Записанная функция является сильным упрощением действительности. Чем ближе математическая модель к действительности, тем она сложнее и тем точнее предсказания, которые можно с ее помощью сделать. Экономическая теория подсказывает, что предложение товара растет с ростом цены. Действительно, чем выше цена на товар, тем больше число производителей стремится предложить этот товар на рынке. Следовательно функция предложения является возрастающей функцией:

P = aS + b (a>0)

a и b – параметры определяемые эмпирически.

 

 

P

 

 

S

В отличие от кривой предложения кривая спроса является убывающей функцией. Если цена на товар растет, то количество проданного товара будет уменьшаться.

P = cD + d (c<0)

 

P – цена;

D - спрос, a и d параметры

P

 

 

 

0 S

В микроэкономике представляет интерес точка пересечения кривых спроса и предложения. Эта точка называется точкой равновесия, а соответствующая ей цена – равновесной ценой. Такие названия связаны с тем обстоятельством, что в точке равновесия спрос приходит в соответствие с предложением, т.е. весь произведенный товар находит своего покупателя.

 

Р₁

 

Р₀

Q_D Q_o Q_s

 

 

Q – количество товара, P – цена.

Если рыночная цена Р₁ больше равновесной цены, Ро, количество товара Qs отвечающее предложению, больше количества товара Q_D, отвечающего спросу, т.е. предложение превышает спрос. Продукция оседает на складах. Это будет побуждать производителей уменьшать цену на продукцию, т.е. рыночная цена Р₁ будет стремится к равновесной цене Ро. Это явление известно как «давление рынка».

Макроэкономика занимается анализом экономической деятельности на национальном (государственном ) уровне. Одним из важнейших макроэкономических показателей, характеризующим успехи хозяйственной деятельности, является национальный доход. Его подсчет представляет собой сложную задачу.