Доказательство
В доказательстве будем использовать символ Кронекера:
Положим:
,
т.е. - точка пространства Em, -я координата которой равна 1, а остальные - 0.
Положим также:
,
т.е. - точки пространства Em, координаты которых - столбцы матрицы А.
Пусть D - выпуклая оболочка множества m+n точек
.
Пусть Z=(0,...,0) - начало координат Em.
Разберем 2 случая: ZÎD, и ZÏD.
Если ZÎD, то Z - выпуклая линейная комбинация точек , т.е. существует элемент множества Sn+m такой, что
,
или .
Следовательно: .
Т.к. ÎSn+m, то и .
Заметим, что , т.к. иначе (=0) и , чего не может быть.
Поэтому положим:
.
Очевидно, что вектор yÎSn и , т.е. условие (2) леммы выполняется.
Пусть ZÏD.
Тогда, очевидно, существует гиперплоскость проходящая через начало координат пространства Em (содержащая точку Z), такая, что D находится в положительном полупространстве - для любой точки ÎD справедливо неравенство
Тогда точки области D также удовлетворяют этому неравенству: . Т.е. .
Кроме того, это неравенство справедливо также и для точек
: ,.
Положим:
.
Очевидно, что вектор xÎSm и . Тогда и подавно , т.е. условие (1) леммы выполняется.
Основная теорема для прямоугольных игр (теорема фон Неймана)
Пусть - некоторая матрица, и пусть математическое ожидание выигрыша для любого и любого определено следующим образом: .
Тогда величины и существуют и равны между собой.