Бинарный поиск
Последовательный или линейный поиск
Простейшим методом поиска элемента, находящегося в неупорядоченном наборе данных, по значению его ключа является последовательный просмотр каждого элемента набора, который продолжается до тех пор, пока не будет найден желаемый элемент. Если просмотрен весь набор, но элемент не найден - значит, искомый ключ отсутствует в наборе.
Для последовательного поиска в среднем требуется (N+1)/2 сравнений. Таким образом, порядок алгоритма - линейный - O(N).
Программная иллюстрация линейного поиска в неупорядоченном массиве приведена в следующем примере, где a - исходный массив, key - ключ, который ищется; функция возвращает индекс найденного элемента или EMPTY - если элемент отсутствует в массиве.
{===== Программный пример 3.4 =====}
Function LinSearch( a : SEQ; key : integer) : integer;
var i : integer;
for i:=1 to N do { перебор эл-тов массива }
if a[i]=key then begin {ключ найден - возврат индекса }
LinSearch:=i; Exit; end;
LinSearch:=EMPTY; {просмотрен весь массив, но ключ не найден }
end;
Другим относительно простым методом доступа к элементу является метод бинарного (дихотомического, двоичного) поиска, который выполняется в заведомо упорядоченной последовательности элементов. Записи в таблицу заносятся в лексикографическом (символьные ключи) или численно (числовые ключи) возрастающем порядке. Для достижения упорядоченности может быть использован какой-либо из методов сортировки (см. 3.8).
В рассматриваемом методе поиск отдельной записи с определенным значением ключа напоминает поиск фамилии в телефонном справочнике. Сначала приближенно определяется запись в середине таблицы и анализируется значение ее ключа. Если оно слишком велико, то анализируется значение ключа, соответствующего записи в середине первой половины таблицы, и указанная процедура повторяется в этой половине до тех пор, пока не будет найдена требуемая запись.
Если значение ключа слишком мало, испытывается ключ, соответствующий записи в середине второй половины таблицы, и процедура повторяется в этой половине. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найден требуемый ключ или не станет пустым интервал, в котором осуществляется поиск.
Для того, чтобы найти нужную запись в таблице, в худшем случае требуется log2(N) сравнений. Это значительно лучше, чем при последовательном поиске.
Программная иллюстрация бинарного поиска в упорядоченном массиве приведена в следующем примере, где a - исходный массив, key - ключ, который ищется; функция возвращает индекс найденного элемента или EMPTY - если элемент отсутствует в массиве.
{===== Программный пример 3.5 =====}
Function BinSearch(a : SEQ; key : integer) : integer;
Var b, e, i : integer;
begin
b:=1; e:=N; { начальные значения границ }
while b<=e do { цикл, пока интервал поиска не сузится до 0 }
begin i:=(b+e) div 2; {середина интервала }
if a[i]=key then
begin BinSearch:=i; Exit; {ключ найден - возврат индекса }
end else
if a[i]<key then b:=i+1 { поиск в правом подинтервале }
else e:=i-1; { поиск в левом подинтервале }
end; BinSearch:=EMPTY; { ключ не найден }
end;
Трассировка бинарного поиска ключа 275 в исходной последовательности:
75, 151, 203, 275, 318, 489, 524, 519, 647, 777
представлена в таблице 3.4.
Таблица 3.4
| Итерация | b | e | i | K[i] |
Алгоритм бинарного поиска можно представить и несколько иначе, используя рекурсивное описание. В этом случае граничные индексы интервала b и e являются параметрами алгоритма.
Рекурсивная процедура бинарного поиска представлена в программном примере 3.6. Для выполнения поиска необходимо при вызове процедуры задать значения ее формальных параметров b и е - 1 и N соответственно, где b, e - граничные индексы области поиска.
{===== Программный пример 3.6 =====}
Function BinSearch( a: SEQ; key, b, e : integer) : integer;
Var i : integer;
begin
if b>e then BinSearch:=EMPTY { проверка ширины интервала }
else begin
i:=(b+e) div 2; { середина интервала }
if a[i]=key then BinSearch:=I {ключ найден, возврат индекса }
else if a[i]<key then { поиск в правом подинтервале }
BinSearch:=BinSearch(a,key,i+1,e)
else { поиск в левом подинтервале }
BinSearch:=BinSearch(a,key,b,i-1);
end; end;
Известно несколько модификаций алгоритма бинарного поиска, выполняемых на деревьях, которые будут рассмотрены в главе 5.
Операции логического уровня над статическими структурами. Сортировка
Для самого общего случая сформулируем задачу сортировки таким образом: имеется некоторое неупорядоченное входное множество ключей и должны получить выходное множество тех же ключей, упорядоченных по возрастанию или убыванию в численном или лексикографическом порядке.
Из всех задач программирования сортировка, возможно, имеет самый богатый выбор алгоритмов решения. Назовем некоторые факторы, которые влияют на выбор алгоритма (помимо порядка алгоритма).
1). Имеющийся ресурс памяти: должны ли входное и выходное множества располагаться в разных областях памяти или выходное множество может быть сформировано на месте входного. В последнем случае имеющаяся область памяти должна в ходе сортировки динамически перераспределяться между входным и выходным множествами; для одних алгоритмов это связано с большими затратами, для других - с меньшими.
2). Исходная упорядоченность входного множества: во входном множестве (даже если оно сгенерировано датчиком случайных величин) могут попадаться упорядоченные участки. В предельном случае входное множество может оказаться уже упорядоченным. Одни алгоритмы не учитывают исходной упорядоченности и требуют одного и того же времени для сортировки любого (в том числе и уже упорядоченного) множества данного объема, другие выполняются тем быстрее, чем лучше упорядоченность на входе.
3). Временные характеристики операций: при определении порядка алгоритма время выполнения считается обычно пропорциональным числу сравнений ключей. Ясно, однако, что сравнение числовых ключей выполняется быстрее, чем строковых, операции пересылки, характерные для некоторых алгоритмов, выполняются тем быстрее, чем меньше объем записи, и т.п. В зависимости от характеристик записи таблицы может быть выбран алгоритм, обеспечивающий минимизацию числа тех или иных операций.
4). Сложность алгоритма является не последним соображением при его выборе. Простой алгоритм требует меньшего времени для его реализации и вероятность ошибки в реализации его меньше. При промышленном изготовлении программного продукта требования соблюдения сроков разработки и надежности продукта могут даже превалировать над требованиями эффективности функционирования.
Разнообразие алгоритмов сортировки требует некоторой их классификации. Выбран один из применяемых для классификации подходов, ориентированный прежде всего на логические характеристики применяемых алгоритмов. Согласно этому подходу любой алгоритм сортировки использует одну из следующих четырех стратегий (или их комбинацию).
1). Стратегия выборки. Из входного множества выбирается следующий по критерию упорядоченности элемент и включается в выходное множество на место, следующее по номеру.
2). Стратегия включения. Из входного множества выбирается следующий по номеру элемент и включается в выходное множество на то место, которое он должен занимать в соответствии с критерием упорядоченности.
3). Стратегия распределения. Входное множество разбивается на ряд подмножеств (возможно, меньшего объема) и сортировка ведется внутри каждого такого подмножества.
4). Стратегия слияния. Выходное множество получается путем слияния маленьких упорядоченных подмножеств.
Далее приводится обзор (далеко не полный) методов сортировки, сгруппированных по стратегиям, применяемым в их алгоритмах.
Все алгоритмы рассмотрены для случая упорядочения по возрастанию ключей.