ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ, ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Модой (Мо) называется чаще всего встречающийся вариант, или модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.
В дискретном ряду мода - это варианта с наибольшей частотой.
В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, т. е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость).
Значение моды для интервального ряда можно также определить по формуле:
Мо = Хмо + imo * (fmo - f mo-1) / ( fmo - f mo-1) + ( fmo - fmo+1)
где Хмо - нижняя граница модального интервала; imo - величина модального интервала; fmo - частота, соответствующая модальному интервалу; f mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fmo+1 - частота интервала, следующего за модальным.
Медиана (Ме) - это величина, которая делит численность упорядочен-ного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая - большие.
В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы располагают индивидуальные значения признака по ранжиру, определяют для данного ранжированного ряда накопленные частоты, по данным о накопленных частотах находят медианный интервал.
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.
Формула медианы в интервальном ряду распределения будет иметь следующий вид:
Ме = Хme + ime * ((å f / 2) - Sme-1) / fme
где Хme - нижняя граница медианного интервала; ime - величина медианного интервала; å f / 2 - полусумма частот ряда; Sme-1 - сумма накопленных частот, интервалов предшествующих медианному; fme - частота медианного интервала.
При статистическом изучении совокупности средняя обладает следующими свойствами: если в индивидуальном признаке явления есть какая-либо типичность, то средняя ее обнаруживает, но она учитывает и влияние крайних значений.
Если `х, Ме, Мо совпадают, то данная группа показателей симметрична. Но Ме < `х при немногочисленной группе с очень высокими значениями показателя и`х<Ме, если нет очень больших чисел и данные концентрируются. Мо<`х, если имеется немногочисленная группа с высокими значениями показателя и Мо отчетливо выражена при однородности группы. Если совокупность неоднородна, то мода трудно определяется.
Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели вариации.
Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены взаимным влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.
Абсолютные и средние показатели вариации и способы их расчета.
Размах вариации, определяется как разность между наибольшим (х мах) и наименьшим (хмin) значениями вариантов:
R = Xmax - Xmin
Размах вариации характеризует диапазон колебаний признака в изучаемой совокупности и измеряется в тех же единицах, в которых выражен признак.
Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая отклонений индивидуальных значений признака от средней, без учета знака этих отклонений:
`d = å | xi - `x | / n
или
`d = å | xi - `x |* f / å f
Среднее линейное отклонение характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней величины и измеряется в тех же единицах, в которых выражен признак.
Однако, во многих случаях этот показатель не устанавливает степень рассеивания. На практике меру вариации более объективно отражает показатель дисперсии (s2 - средний квадрат отклонений - СКО), определяемый как средняя из отклонений, возведенных в квадрат ( хi -`х )2.
s2 = å (xi - `x)2 / n (невзвешенная дисперсия)
или
s2 = å (xi - `x)2 * f / å f (взвешенная дисперсия)
Корень квадратный из дисперсии s2 среднего квадрата отклонений представляет собой среднее квадратическое отклонение.
___
s = Ö s2
СКО - s и дисперсия s2 являются общепринятыми мерами вариации признака.
Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.
Как и среднее линейное отклонение СКО характеризует абсолютный размер колеблемости признака около средней величины.
Свойства дисперсии:
1. Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится.
s2(Xi -A) = s2
2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в А раз:
s2 = s2 / A2 (Xi / A)
3. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической`х, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической.
s2 A > s2 x
При этом больше на вполне определенную величину - на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной, т. е. на (`х - А)2 .
s2 = s2 A + (`х - А )2 или s2 = s2 A + (`х - А )2
В случае, когда А = 0, формула принимает такой вид:
s2 = ( å х2f / å f ) - ( å х2f / å f )2
или s2 = `x2 - (`x )2
средний квадрат
квадрат среднего
значений значения
признака признака
Cредний квадрат отклонений s2 равен среднему квадрату значений признака `x2 минус квадрат среднего значения признака (х)2, т. е. m2 - m12.
Изложенный способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения называется способом моментов, или способом отсчета от условного нуля. Он применим при условии равных интервалов.
Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим формулу
s2 = i2 * (m2 - m12)
где : m1 и m2 - начальный момент соответственно первого и второго порядка, вычисляемый в общем виде по формуле:
mi = å ( x - A)i * f / å f ;
A - условная величина; i - показатель порядка момента;
Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах
1. Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.
Ко = R / `x * 100 %
где R - размах вариации.
2. Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.
Кd = `d / `x * 100%
3. Коэффициент вариации является относительной мерой колеблемости признака около средней и характеризует степень однородности признака в изучаемой совокупности. Т. е., он используется для оценки типичности исследуемых величин.
u = s / `x * 100%
Если u > 33%, то колеблемость признака в данной совокупности высокая.